Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: f m ​ ( x ) = sin 4 x + cos 4 x + msinxcosx , x ∈ R . Biện luận theo m.

Giải thích

Viết lại f m ​ ( x ) dưới dạng sau: f m ​ ( x ) = 1 − 2 1 ​ sin 2 2 x + 2 m ​ sin 2 x Đặt sin 2 x = t ( − 1 ≤ t ≤ 1 ) . Khi đó ta có { max x ∈ R ​ f m ​ ( x ) = max − 1 ≤ t ≤ 1 ​ F m ​ ( t ) ( 1 ) min x ∈ R ​ f m ​ ( x ) = max − 1 ≤ t ≤ 1 ​ F m ​ ( t ) ( 2 ) ​ , ở đây F m ​ ( t ) = − 2 1 ​ t 2 + 2 m ​ t + 1 , v ớ i − 1 ≤ t ≤ 1 ta có F m ′ ​ ( t ) = − t + 2 m ​ Có ba khả năng sau: 1. Nếu m ≥ 2 , khi đó 2 m ​ ≥ 1 và ta có bảng biến thiên sau Từ đó suy ra max − 1 ≤ t ≤ 1 ​ F m ​ ( t ) = F m ​ ( 1 ) = 2 m + 1 ​ min − 1 ≤ t ≤ 1 ​ F m ​ ( t ) = F m ​ ( − 1 ) = 2 1 − m ​ ​ 2. Nếu m ≤ − 2 , khi đó 2 m ​ ≤ − 1 và ta có bảng biến thiênsau Lúc đó ta có − 1 ≤ t ≤ 1 max ​ F m ​ ( t ) = F m ​ ( − 1 ) = 2 1 − m ​ ; − 1 ≤ t ≤ 1 min ​ F m ​ ( t ) = F m ​ ( 1 ) = 2 1 + m ​ 3. Nếu − 2 < m < 2 ⇒ − 1 < 2 m ​ < 1 , và có bảng biến thiên sau Lúc này − 1 ≤ t ≤ 1 max ​ F m ​ ( t ) = F m ​ ( 2 m ​ ) = 8 m 2 + 8 ​ ; − 1 ≤ t ≤ 1 min ​ F m ​ ( t ) = min { F ( − 1 ) ; F ( 1 ) } = min { 2 1 − m ​ ; 2 1 + m ​ } = { 2 1 − m ​ , n e ^ ˊ u 0 ≤ m < 2 2 1 + m ​ , n e ^ ˊ u − 2 < m < 0 ​ Tóm lại ta có − 1 ≤ m ≤ 1 max ​ F m ​ = ⎩ ⎨ ⎧ ​ 2 1 − m ​ , n e ^ ˊ u m ≤ − 2 ; 8 m 2 + 8 ​ , n e ^ ˊ u − 2 < m < 2 ; 2 1 + m ​ , n e ^ ˊ u m ≥ 2 ​ − 1 ≤ m ≤ 1 min ​ F m ​ ( t ) = { 2 1 + m ​ , n e ^ ˊ u m < 0 ; 2 1 − m ​ , n e ^ ˊ u m > 0 ​