Câu hỏi

Tìm giá trị lớn nhất: T = x yz 1 ( yz x − 1 + z x y − 2 + x y z − 3 ) ( x ≥ 1 , y ≥ 2 , z ≥ 3 )

Tìm giá trị lớn nhất: $T = \frac{1}{x yz} (yz x - 1 + z x y - 2 + x y z - 3) (x \geq 1, y \geq 2, z \geq 3)$

T. Nhã

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Biểu thức T viết lại: T = x x − 1 + y y − 2 + z z − 3 Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: x − 1 = ( x − 1 ) .1 ≤ 2 x − 1 + 1 = 2 x ⇒ x x − 1 ≤ 2 1 ( 1 ) y − 2 = 2 1 ( y − 2 ) .2 ≤ 2 2 y − 2 + 2 = 2 2 y ⇒ y y − 2 ≤ 2 2 1 ( 2 ) z − 3 = 3 1 ( z − 3 ) .3 ≤ 2 3 z − 3 + 3 = 2 3 z ⇒ z z − 3 ≤ 2 3 1 ( 3 ) Cộng (1), (2) và (3) theo vế, ta được T ≤ 2 1 + 2 2 1 + 2 3 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 y = 4 z = 6 Vậy ma x T = 2 1 + 2 2 1 + 2 3 1

Biểu thức T viết lại: $T = \frac{x - 1}{x} + \frac{y - 2}{y} + \frac{z - 3}{z}$

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

$x - 1 = (x - 1) .1 \leq \frac{x - 1 + 1}{2} = \frac{x}{2} \Rightarrow \frac{x - 1}{x} \leq \frac{1}{2} (1) y - 2 = \frac{1}{2} (y - 2) .2 \leq \frac{y - 2 + 2}{2 2} = \frac{y}{2 2} \Rightarrow \frac{y - 2}{y} \leq \frac{1}{2 2} (2) z - 3 = \frac{1}{3} (z - 3) .3 \leq \frac{z - 3 + 3}{2 3} = \frac{z}{2 3} \Rightarrow \frac{z - 3}{z} \leq \frac{1}{2 3} (3)$

Cộng (1), (2) và (3) theo vế, ta được $T \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{2 2} + \frac{1}{2 3}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $⎩ ⎨ ⎧ x = 2 y = 4 z = 6$

Vậy $ma x T = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 2} + \frac{1}{2 3}$

Câu hỏi tương tự

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d 1 : x + y + 5 = 0 , d 2 : x + 2 y − 7 = 0 và tam giác ABC có A(2;3), trọng tâm G(2;0), điểm B thuộc d 1 và điểm C thuộc d 2 . Viết phươ...

Xác nhận câu trả lời

Cho hình hộp chữ nhật OABD.DEFG có O A = a ; OC = b ; C D = c . Gọi I là tâm hình hộp. Biểu thị vectơ O I theo ba vectơ O A , OC , O D

Xác nhận câu trả lời

Cho khối tứ diện ABCD. Nếu A B = b ; A C = b ; A D = c . Gọi G là trung điểm của BCD thì

Xác nhận câu trả lời

Tính tích phân I = ∫ 0 1 x ln ( x 2 + x + 1 ) d x .

Xác nhận câu trả lời

Trong không gianvới hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình 3 x + 1 = − 4 y − 3 = 2 z − 3 và hai điểm M(1;3;-1), N(7;-5;3). Tìm điểm I thuộc d sao cho I M + I N nhỏ nhất

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG