Square root
VBT
Calculator
magnet

Câu hỏi

Tìm các điểm cực trị của hàm số u = 6x + 8y + 7 với điều kiện x 2 + 2 y 2 = 17

Tìm các điểm cực trị của hàm số u = 6x + 8y + 7 với điều kiện 

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Hàm số Lagrange L = 6 x + 8 y + 7 + λ ( 17 − x 2 − 2 y 2 ) Hệ phương trình điều kiện cần là hệ ⎩ ⎨ ⎧ ​ L λ ′ ​ = 17 − x 2 − 2 y 2 = 0 L x ′ ​ = 6 − 2 λ x = 0 L y ′ ​ = 8 − 4 λ y = 0 ​ ⇔ { x 2 + 2 y 2 = 17 λ = x 3 ​ − y 2 ​ ​ Từ phương trình thứ hai của hệ suy ra y = 3 2 x ​ . Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được x 2 + 2 9 4 x 2 ​ = 17 ⇒ 17 x 2 = 9.17 ⇒ x 2 = 9 ⇒ x = ± 3 Với x = 3 ta có tương ứng: y = 2 , λ = 1 Với x = -3 ta có tương ứng y = − 2 , λ = − 1 Hàm số Lagrange có 2 điểm dừng: ( x = 3 , y = 2 , λ = 1 ) v a ˋ ( x = − 3 , y = − 2 , λ = − 1 ) Để xét điều kiện đủ đốivới các điểm dừng này ta phải tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số Lagrange và các đạo hàm riêng của hàm số g = x 2 + 2 y 2 ở vế trái phương trình ràng buộc: L 11 ​ = L xx ′ ​ = − 2 λ , L 12 ​ = L xy ′ ​ = 0 , L 21 ​ = L yx ′′ ​ = 0 , L 22 ​ = L yy ′ ​ = − 4 λ ; g 1 ​ = g x ′ ​ = 2 x , g 2 ​ = g y ′ ​ = 4 y Ta có: ∣ ∣ ​ H ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ​ 0 2 x 4 y ​ 2 x − 2 λ 0 ​ 4 y 0 − 4 λ ​ ∣ ∣ ​ = 16 λ x 2 + 32 λ y 2 = 16 λ ( x 2 + 2 y 2 ) Để xét điều kiện đủ ta không nhất thiết phải tính trị số của định thức ∣ ∣ ​ H ∣ ∣ ​ , mà chỉ cần xác định dấu cảu nó. Ta có ∣ ∣ ​ H ∣ ∣ ​ > 0 tại điểm (x = 3, y = 2, λ =1) và ∣ ∣ ​ H ∣ ∣ ​ < 0 tại điểm(x = -3, y = -2, λ = -1). Theo định lí về điều kiện đủ ta đi đến kết luận: Hàm số có hai điểm cực trị: Điểm cực đại:(x = 3, y = 2); Điểm cực tiểu:(x = -3, y = -2)

Hàm số Lagrange 

Hệ phương trình điều kiện cần là hệ

Từ phương trình thứ hai của hệ suy ra . Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được

Với x = 3 ta có tương ứng: 

Với x = -3 ta có tương ứng 

Hàm số Lagrange có 2 điểm dừng: 

Để xét điều kiện đủ đốivới các điểm dừng này ta phải tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số Lagrange và các đạo hàm riêng của hàm số  ở vế trái phương trình ràng buộc: 

Ta có: 

Để xét điều kiện đủ ta không nhất thiết phải tính trị số của định thức , mà chỉ cần xác định dấu cảu nó. Ta có  tại điểm (x = 3, y = 2, =1) và  tại điểm (x = -3, y = -2, = -1). Theo định lí về điều kiện đủ ta đi đến kết luận:

Hàm số có hai điểm cực trị: Điểm cực đại: (x = 3, y = 2); Điểm cực tiểu: (x = -3, y = -2)

2

Câu hỏi tương tự

Cho các số thực dương a, bvà α , β là các số thực tùy ý. Khẳng định nào sau đây sai ?

0

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG