Tìm các căn bậc hai của số phức w = − 11 + 4 3 ​ i ; 2 2 ​ ​ ( 1 − i )

Giải thích

1.Gỉa sử z = x+ yi là căn bậc hai của số phức w = − 11 + 4 3 ​ i K hi đ o ˊ z 2 = w ⇔ ( x + y i ) 2 = − 11 + 4 3 ​ i ⇔ ( x 2 − y 2 ) + 2 x y i = − 11 + 4 3 ​ i ⇔ { x 2 − y 2 = − 11 x y = 2 3 ​ ​ ⇔ { x 2 − y 2 = − 11 y = x 2 3 ​ ​ ​ ⇔ { y = x 2 3 ​ ​ x 2 − x 2 12 ​ = − 11 ​ ⇔ [ x = 1 ; y = 2 3 ​ x = − 1 ; y = − 2 3 ​ ​ Vậy số phức w = − 11 + 4 3 ​ i có hai căn bậc hai là z 1 ​ = 1 + 2 3 ​ i ; z 2 ​ = − 1 − 2 3 ​ i 2.Theo công thức Moivre ta có ( cos φ + i sin φ ) 2 = cos 2 φ + i sin 2 φ suy ra cos φ + i sin φ v a ˋ − cos φ − i sin φ là các căn bậc hai của cos 2 φ + i sin 2 φ Ta có 2 2 ​ ​ ( 1 − i ) = cos 4 π ​ − i sin 4 π ​ = cos ( − 4 π ​ ) + i sin ( − 4 π ​ ) .Từ đó suy ra 2 2 ​ ​ ( 1 − i ) có hai căn bậc hai là: z 1 ​ = cos ( 8 − π ​ ) + i sin ( − 8 π ​ ) và z 2 ​ = − cos ( 8 − π ​ ) − i sin ( − 8 π ​ )