Câu hỏi

Số giá trị nguyên dương của m để bất phương trình ( 2 x + 2 − 2 ) ( 2 x − m ) < 0 có tập nghiệm chứa không quá 6 số nguyên là:

Số giá trị nguyên dương của m để bất phương trình $(2^{x + 2} - 2) (2^{x} - m) < 0$ có tập nghiệm chứa không quá 6 số nguyên là:

T. ThuỳTrangNguyễn

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ta có: bất phương trình ( 2 x + 2 − 2 ) ( 2 x − m ) < 0 ⇔ { 2 x + 2 − 2 > 0 2 x − m < 0 ∨ { 2 x + 2 − 2 < 0 2 x − m > 0 ⇔ { 2 x + 2 > 2 2 x < m ∨ { 2 x + 2 < 2 2 x > m ⇔ { x + 2 > 2 1 x < lo g 2 m ∨ { x + 2 < 2 1 x > lo g 2 m ⇔ { x > − 2 3 x < lo g 2 m ∨ { x < − 2 3 x > lo g 2 m ⇔ − 2 3 < x < lo g 2 m (Vì m ≥ 1 ⇒ lo g 2 m ≥ 0 nên (*) vô nghiệm). Bất phương trình đã cho có tập nghiệm chứa không quá 6 số nguyên ⇔ lo g 2 m ≤ 5 ⇔ m ≤ 2 5 ⇔ m ≤ 32 Mà m nguyên dương nên m ∈ { 1 ; 2 ; 3 ; ...32 } Vậy có 32 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ta có: bất phương trình $(2^{x + 2} - 2) (2^{x} - m) < 0$
$\Leftrightarrow {2^{x + 2} - 2 > 0 2^{x} - m < 0 \lor {2^{x + 2} - 2 < 0 2^{x} - m > 0$

$\Leftrightarrow {2^{x + 2} > 2 2^{x} < m \lor {2^{x + 2} < 2 2^{x} > m$

$\Leftrightarrow {x + 2 > \frac{1}{2} x < lo g_{2} m \lor {x + 2 < \frac{1}{2} x > lo g_{2} m$

$\Leftrightarrow {x > - \frac{3}{2} x < lo g_{2} m \lor {x < - \frac{3}{2} x > lo g_{2} m$

$\Leftrightarrow - \frac{3}{2} < x < lo g_{2} m$
(Vì $m \geq 1 \Rightarrow lo g_{2} m \geq 0$ nên (*) vô nghiệm).
Bất phương trình đã cho có tập nghiệm chứa không quá 6 số nguyên
$\Leftrightarrow lo g_{2} m \leq 5 \Leftrightarrow m \leq 2^{5} \Leftrightarrow m \leq 32$
Mà m nguyên dương nên $m \in {1; 2; 3; ...32}$
Vậy có 32 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán