Số giá trị nguyên của mthuộc khoảng ( − 2019 ; 2019 ) để phương trình 4 x 2 − 2 x + 1 − m . 2 x 2 − 2 x + 2 + 3 m − 2 = 0 có bốn nghiệm phân biệt là

Giải thích

C ách 1: +) Ta có 4 x 2 − 2 x + 1 − m . 2 x 2 − 2 x + 2 + 3 m − 2 = 0 Đặt t = 2 x 2 − 2 x + 1 . Ta có t = 2 x 2 − 2 x + 1 = 2 ( x − 1 ) 2 ≥ 2 0 = 1 , ∀ x . Su y ra t ≥ 1 . Phương trình (1)trở thành: +) Phương trình (1)có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2)có hai nghiệm phân biệt t 1 ​ , t 2 ​ thỏa mãn Theo định lý Vi-et ta có . +) Khi đó (3). Mà mnguyên và m ∈ ( − 2019 ; 2019 ) nên ta có m ∈ ( 3 ; 4 ; ... ; 2018 ) . Vậy có 2016giá trị nguyên của mthỏa mãn bài toán. C ách 2: Đặng Ân +) Ta có 4 x 2 − 2 x + 1 − m . 2 x 2 − 2 x + 2 + 3 m − 2 = 0 Đặt t = 2 x 2 − 2 x + 1 . Ta có t = 2 x 2 − 2 x + 1 = 2 ( x − 1 ) 2 ≥ 2 0 = 1 , ∀ x . Su y ra t ≥ 1 . Phương trình (1)trở thành: t 2 − 2 m . t + 3 m − 2 = 0 ⇔ ( 2 t − 3 ) . m = t 2 − 2 ( 2 ) . Vì t = 2 3 ​ không là nghiệm của (2)nên (2) ⇔ m = 2 t − 3 t 2 − 2 ​ ( ∗ ) . Xét hàm số y = 2 t − 3 t 2 − 2 ​ trên khoảng ( 1 ; + ∞ ) . Ta có bảng biến thiên Phương trình (1)có bốn nghiệm phân biệt ⇔ ( ∗ ) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 ⇔ m > 2 . Mà mnguyên và m ∈ ( − 2019 ; 2019 ) nên ta có m ∈ ( 3 ; 4 ; ... ; 2018 ) . Vậy có 2016giá trị mthỏa mãn bài toán.