Một sợi dây kim loại dài 60cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh a, đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính r. Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là nhỏ nhất thì tỉ số r a ​ nào sau đây đúng ?

Giải thích

Không mất tính tổng quát ta giả sử chiều dài dây là L ( cm ) . Khi đó đoạn dây thứ nhất chính là chu vi của hình vuông và bằng 4 a Khi đó ta có đoạn dây thứ hai là L-4 a và cũng chính là chu vi của đường tròn bán kính r ⇒ 2 π r = L − 4 a ⇒ r = 2 π L − 4 a ​ > 0 ⇒ a < 4 L ​ Do đó Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn = S vuong ​ + S tron ​ = a 2 + π 4 π 2 ( L − 4 a ) 2 ​ Đặt S ( a ) = a 2 + 4 π ( L − 4 a ) 2 ​ v ớ i 0 < a < 4 L ​ Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của S(a) với 0 < a < 4 L ​ Khi đó ta có: S ′ ( a ) = 2 a + π − 2 ( L − 4 a ) ​ = π 2 ​ [( π + 4 ) a − L ] , S ′ ( a ) = 0 ⇔ a = π + 4 L ​ < 4 L ​ Lập bảng biến thiên, ta có: Dựa vào bảng biến ta có: a ∈ ( 0 ; 4 L ​ ) min ​ S ( a ) = S ( π + 4 L ​ ) và khi đó bán kính của đường tròn sẽ là r = 2 ( π + 4 ) L ​ = 2 a ​ . Do đó lập tỉ số ta sẽ có r a ​ = 2 Như vậy rõ ràng, ta không cần thiết phải biết chính xác số đo chiều dài dây mà cần nhớ kết quả quan trọng a=2 r khi gặp các bài toán