Square root
VBT
Calculator
magnet

Câu hỏi

Một mặt cầu tâm O nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp tam giác đều S. ABC có tất cả các cạnh bằng nhau, các đỉnh A, B, Cthuộc mặt cầu. Biết bán kính mặt cầu là 1. Tính tổng độ dài l, các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp thỏa mãn?

Một mặt cầu tâm O nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp tam giác đều S. ABC có tất cả các cạnh bằng nhau, các đỉnh A, B, C  thuộc mặt cầu. Biết bán kính mặt cầu là 1. Tính tổng độ dài l, các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp thỏa mãn?

E. Elsa

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Chọn D Gọi D là trung điểm của đoạn AB, kẻ O I ⊥ S D ,dễ dàng chứng minh được O I ⊥ ( S A B ) .Suy ra I là tâm đường tròn ( C ) giao tuyến của mặt cầu tâm O với mặt phẳng ( S A B ) .Gọi M,N lần lượt là giao điểm của đường tròn ( C ) với SB,SA;K là trung đểm của MB. Giả sử A B = a ,theo giả thiết ta suy ra OC = 1 ⇔ 3 a 3 ​ ​ = 1 ⇔ a = 3 ​ Ta có S D = C D = 2 3 ​ , O D = 2 1 ​ , SO = S C 2 − O C 2 ​ = 2 ​ O I = S D SO ⋅ O D ​ = 3 2 ​ ​ ; I D = S D O D 2 ​ = 6 1 ​ , S I = 3 4 ​ Gọi r là bán kính đường tròn (C), khi đó r = 1 − O I 2 ​ = 3 7 ​ ​ Ta có tam giác SIK vuông tại K và góc ∠ I S K = 3 0 ∘ ⇒ I K = 2 1 ​ I S = 3 2 ​ Xét tam giác MIK có cos ( I ) = I M I K ​ = 7 ​ 2 ​ ⇒ I ≈ 2 8 ∘ ⇒ ∠ M I N ≈ 6 4 ∘ Khi đó chiều dài cung MN bằng 180 64 ​ ⋅ 3 7 ​ ​ = 135 16 7 ​ ​ Vậy tổng độ dài l , các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp là l == 45 16 7 ​ ​ ≈ 0 , 94

Chọn D

Gọi D là trung điểm của đoạn AB, kẻ , dễ dàng chứng minh được . Suy ra I là tâm đường tròn  giao tuyến của mặt cầu tâm O với mặt phẳng . Gọi M,N lần lượt là giao điểm của đường tròn  với SB,SA; K là trung đểm của MB.

Giả sử , theo giả thiết ta suy ra 

Ta có

Gọi r là bán kính đường tròn (C), khi đó 

Ta có tam giác SIK vuông tại K và góc 

Xét tam giác MIK có 

Khi đó chiều dài cung MN bằng 

Vậy tổng độ dài l , các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp là

 

1

Câu hỏi tương tự

Cho tứ diện có các cạnh và đôi một vuông góc với nhau; , và . Gọi tương ứng là trung điểm các cạnh . Tính thể tích của khối tứ diện

0

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG