Câu hỏi

Một hình xuyến dạng cái phao có kích thước như hình vẽ. Tính thể tích của hình đó theo R và r.

Một hình xuyến dạng cái phao có kích thước như hình vẽ.

Tính thể tích của hình đó theo R và r.

R. Robo.Ctvx31

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Xét hệ trục tọa độ Oxy nhưu hình vẽ. Khi đó hình xuyến dạng cái phao được tạo ra khi ta quay đường tròn tâm (0;R) và bán kính r xung quanh trục Ox. ⇒ Phương trình đường tròn x 2 + ( y − R ) 2 = r 2 ⇔ { y = R + r 2 − x 2 y = R − r 2 − x 2 . ⇒ V = π ∫ − r r ∣ ∣ ( R + r 2 − x 2 ) 2 − ( R − r 2 − x 2 ) 2 ∣ ∣ d x = 4 π R ∫ − r r r 2 − x 2 dx . Đặt x = r sin t ⇔ d x = r cos t d t r → 2 π − r → − 2 π V = 4 π R ∫ − 2 π 2 π ( rcost ) 2 dt = 2 π r 2 R ∫ − 2 π 2 π ( 1 + cos 2 t ) dt = 2 π r 2 R ( t + 2 sin 2 t ) ∣ ∣ − 2 π 2 π = 2 π 2 r 2 R .

Xét hệ trục tọa độ Oxy nhưu hình vẽ.

Khi đó hình xuyến dạng cái phao được tạo ra khi ta quay đường tròn tâm (0;R) và bán kính r xung quanh trục Ox.

$\Rightarrow$ Phương trình đường tròn $x^{2} + (y - R)^{2} = r^{2} \Leftrightarrow {y = R + r^{2} - x^{2} y = R - r^{2} - x^{2} .$

$\Rightarrow V = π \int_{- r}^{r} ∣ ∣ (R + r^{2} - x^{2})^{2} - (R - r^{2} - x^{2})^{2} ∣ ∣ d x = 4 π R \int_{- r}^{r} r^{2} - x^{2} dx .$

Đặt

$x = r sin t \Leftrightarrow d x = r cos t d t r \to \frac{π}{2} - r \to - \frac{π}{2} V = 4 π R \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (rcost)^{2} dt = 2 π r^{2} R \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (1 + cos 2 t) dt = 2 π r^{2} R (t + \frac{sin 2 t}{2}) ∣ ∣_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} = 2 π^{2} r^{2} R .$