Một hình thang cân ABCD có các cạnh đáy AB = 2a, DC = 4a, cạnh bên AD = BC = 3a. Cho hình thang đó (kể cả các điểm trong) quay quanh trục đối xứng của nó. Hãy tỉnh thể tích và diện tích toàn phần của khối tròn xoay được tạo thành.

Giải thích

Gọi S là giao điểm của hai cạnh bên AD và BC của hình thang. Đường cao SO của tam giác cân SCD là trục đối xứng của hình thang do đó SO cắt AB tại trung điểm O’ của AB. Khi quay quanh SO, △ SCD sinh ra khối nón N 1 có thể tích V 1 , △ SAB sinh ra khối nón N 2 có thể tích V2, còn hình thang ABCD sinh ra một khối tròn xoay H có thể tích V = V1+ V2. Vậy V = 3 1 ​ π OC 2 SO = 3 1 ​ π O ′ B 2 . SO ′ = 3 1 ​ π 4 a 2 SO − 3 1 ​ π a 2 SO ′ = 3 1 ​ π a 2 ( 4 SO − SO ′ ) Do AB là đường trung bình của tam giác SCD nên SB = 3a, do đó SO' = √ S B 2 − O ′ B 2 ​ = 9 a 2 − a 2 ​ = 2 2 ​ a v a ˋ SO = 2 S O ′ = 4 2 ​ a Vậy V = 3 1 ​ π a 2 ( 16 2 ​ a − 2 2 ​ a ) = 3 14 2 ​ ​ π a 3 Gọi S 1 và S 2 lầnlượt là diện tích xung quanh của khối nón N 1 và N 2 thì diện tích xung quanh của khối tròn xoay H là: Sxq=S1-S2= π OC.SC- π O'B.SB = 9ла². Cộng thêm diện tích của hai hình tròn đáy của H ta được diện tích toàn phần của H là: S tp =9 π a 2 + π a 2 +4 π a 2 = 14 π a 2