Câu hỏi
Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao h của mực cát bằng 4 3 chiều cao của bên đó (xem hình) Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi 12 , 72 c m 3 /phút. Khi chiều cao của cát còn 4 cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn có chu vi 8 π cm (xem hình). Biết sau 10 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm ?
Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao h của mực cát bằng chiều cao của bên đó (xem hình)
Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi /phút. Khi chiều cao của cát còn 4 cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn có chu vi cm (xem hình). Biết sau 10 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm ?
10 cm
9 cm
8 cm
12 cm
E. Elsa
Giáo viên
Giải thích
Gọi ( α ) là mặt phẳng song song với đáy của hình trụ và cắt đồng hồ cát. Khi đó mặt cắt là một đường tròn có bán kính x(cm) , suy ra diện tích đường tròn là S t = π x 2 ( cm 2 ) . Chọn hệ trục tọa độ Oxynhư hình vẽ, gọi phương trình parabol ( P ) : y = a x 2 + b x + c Bán kính của đường tròn mặt cát bằng 4 cm, nên (P)đi qua 3 điểm (0;0), (0;4) và(4;4) Suy ra phương trình của (P) : y = 4 x 2 ⇒ x 2 = 4 y ⇒ S t = 4 π y Suy ra thể tích cát ban đầu là V = ∫ 0 h S t d y = 4 π ∫ 0 h ydy (vì mặt cắt vuông góc với Oy ) Mà thể tích khối cát là V c = 12 , 72.10 = 127 , 2 c m 3 Suy ra : Suy ra chiều cao của khối trụ bên ngoài là : 2. 3 4 . h ≈ 12 c m
Gọi là mặt phẳng song song với đáy của hình trụ và cắt đồng hồ cát. Khi đó mặt cắt là một đường tròn có bán kính x(cm) , suy ra diện tích đường tròn là .
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, gọi phương trình parabol
Bán kính của đường tròn mặt cát bằng 4 cm, nên (P) đi qua 3 điểm (0;0), (0;4) và (4;4)
Suy ra phương trình của (P) :
Suy ra thể tích cát ban đầu là (vì mặt cắt vuông góc với Oy )
Mà thể tích khối cát là
Suy ra :
Suy ra chiều cao của khối trụ bên ngoài là :
1
Câu hỏi tương tự
TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG
