Một đa thức f(x) với hệ số nguyên gọi là bất khảquy trong Z [ x ] (gọi tắt là bất khả quy) nếu nó không thể biểu diên được ở dạng tích hai đa thức bậc nguyên dương với hệ số nguyên. Giả sử f(x) là 1 đa thức với hệ số nguyên, bậc n ≥ 2 , [ f ( a ) ] bằng 1 hoặc là số nguyen tố với ít nhất 2n+1 giá trị nguyên phân biệt của a. Chứng minh rằng f(x) là bất khả quy.

Giải thích

giả sử f(x)=g(x).h(x), ở đó g(x), h(x) là các đa thức với hệ số nguyên, d e g . g ≥ 1 , d e g h ≥ 1 Ta có: f 2 ( x ) = g 2 ( x ) . h 2 ( x ) Theo giả thiết tồn tại 2n + 1 số nguên phân biệt a 1 ​ , a 2 ​ , ... , a 2 n + 1 ​ sao cho ∣ f ( a i ​ ) ∣ bằng 1 hoặc bằng p nguyên tố. Suy ra: f 2 ( a i ​ ) = g 2 ( a i ​ ) . h 2 ( a i ​ ) = { 1 p n gu y e ^ n t o ^ ˊ ​ ∀ i = 1 , 2 n + 1 ​ ⇒ [ g 2 ( a i ​ ) = 1 h 2 ( a i ​ ) = 1 ​ ∀ i = 1 , 2 n + 1 ​ ( 2 ) Nhưng phương trình g 2 ( x ) = 1 có không quá 2 degg nghiệm, phương trình h 2 ( x ) = 1 có không quá 2 degh nghiệm Do đó g 2 ( x ) = 1 hoặc h 2 ( x ) = 1 tại không quá 2deg g +2deg h = 2n giá trị khác nhau của x. Mâu thuẫn vói (2) Từ đo ta có đpcm.