Câu hỏi

Khối chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC. Một mặt phẳng ( α ) đi qua AM và song song với BD, chia khối chóp thành 2 phần. Tính tỷ số thể tích hai phần đó.

Khối chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC. Một mặt phẳng $(α)$ đi qua AM và song song với BD, chia khối chóp thành 2 phần. Tính tỷ số thể tích hai phần đó.

R. Robo.Ctvx28

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD, AM cắt SO tại O' là trọng tâm của tam giác SAC. Nên SO S O ′ = 3 2 . Mặt phẳng ( α ) qua AM và song song với BD cắt mặt phẳng (SBD) theo giao tuyến PQ qua O' và song song với BD. Mặt phẳng ( α ) chia khối chóp S A BC D thành 2 phần. Một phần là khối chóp S A PMQ có thể tích V 1 . Phần còn lại có thể tích V 2 = V S A BC D − V 1 ; V 1 = V S A PQ + V SPMQ V S A B D V S A PQ = S A . SB . S D S A . SP . SQ = 3 2 . 3 2 = 9 2 Suy ra V S A PQ = 9 4 V S A B D = 9 2 V S A BC (vì V S A B D = 2 1 V S A BC D ) V SBC D V SPMQ = SB . SC . S D SP . SM . SQ = 3 2 . 2 1 . 3 2 = 9 2 . Suy ra V SPMQ = 9 2 . V SBC D = 9 1 . V S A BC D (vì V SBC D = 2 1 . V S A BC D ) nên V 1 = 9 3 . V S A BC D , V 2 = V S A BC D − V 1 = V S A BC D − 9 3 . V S A BC D = 3 2 . V S A BC D . Vậy V 2 V 1 = 2 1 .

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD, AM cắt SO tại O' là trọng tâm của tam giác SAC. Nên $\frac{S O ^{'}}{SO} = \frac{2}{3}$ . Mặt phẳng $(α)$ qua AM và song song với BD cắt mặt phẳng (SBD) theo giao tuyến PQ qua O' và song song với BD. Mặt phẳng $(α)$ chia khối chóp $S_{A BC D}$ thành 2 phần. Một phần là khối chóp $S_{A PMQ}$ có thể tích $V_{1}$ . Phần còn lại có thể tích $V_{2} = V_{S A BC D} - V_{1}$ ;

$V_{1} = V_{S A PQ} + V_{SPMQ} \frac{V _{S A PQ}}{V _{S A B D}} = \frac{S A . SP . SQ}{S A . SB . S D} = \frac{2}{3} . \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$

Suy ra $V_{S A PQ} = \frac{4}{9} V_{S A B D} = \frac{2}{9} V_{S A BC}$ (vì $V_{S A B D} = \frac{1}{2} V_{S A BC D}$ )

$\frac{V _{SPMQ}}{V _{SBC D}} = \frac{SP . SM . SQ}{SB . SC . S D} = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} . \frac{2}{3} = \frac{2}{9} .$

Suy ra $V_{SPMQ} = \frac{2}{9} . V_{SBC D} = \frac{1}{9} . V_{S A BC D}$ (vì $V_{SBC D} = \frac{1}{2} . V_{S A BC D}$ )

nên $V_{1} = \frac{3}{9} . V_{S A BC D}, V_{2} = V_{S A BC D} - V_{1} = V_{S A BC D} - \frac{3}{9} . V_{S A BC D}$

$= \frac{2}{3} . V_{S A BC D} .$ Vậy $\frac{V _{1}}{V _{2}} = \frac{1}{2}$ .

Câu hỏi tương tự

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , A B = a , S A = a 3 và SA vuông góc với đáy. Tính góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng ( A BC ) .

Xác nhận câu trả lời

Cho khối chóp S.ABCcó thể tích V. Các điểm B' , C'tương ứng là trung điểm các cạnh SB , SC . Thể tích khối chóp S.AB'C' bằng

Xác nhận câu trả lời

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, A SB = CSB = 6 0 0 , A SC = 9 0 0 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

Xác nhận câu trả lời

Cho khối nón có bán kính đáy r = 3 và chiều cao h = 2 . Thể tích khối nón đã cho bằng

Xác nhận câu trả lời

Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và thể tích là 3 a 3 . Gọi t là tỉ số giữa độ dài cạnh bên và độ dài cạnh đáy của hình chóp. Tính t.

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG