Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với A B = 3 , BC = 4 , SC = 5 . Tam giác SAC nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Các mặt (SAB) và (SAC) tạo với nhau một góc α và cos ( α ) = 29 ​ 3 ​ . Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Giải thích

Kẻ S H ⊥ A C ( H ∈ A C ) vì △ S A C nhọn Ta có { ( S A C ) ∩ ( A BC D ) = A C S H ⊥ A C ​ ⇒ S H ⊥ ( A BC D ) Kẻ MB ⊥ A C ⇒ MB ⊥ ( S A C ) ⇒ MB ⊥ S A , (1) Ta có A C = SC = 5 nên △ S A C cân tại C Gọi E là trung điểm của SA nên S A ⊥ EC , k ẻ MN // EC ( N ∈ S A ) nên S A ⊥ MN ( 2 ) Từ (1),(2) suy ra S A ⊥ ( MNB ) ⇒ BNM = α Ta có cos 2 ( α ) 1 ​ = 1 + tan 2 ( α ) ⇒ tan ( α ) = ( 29 ​ 3 ​ ) 2 1 ​ − 1 ​ = 3 2 5 ​ ​ Trong △ A BC : MB = A B 2 + B C 2 ​ A B . BC ​ = 5 12 ​ , A M = A B 2 − M B 2 ​ = 5 9 ​ Trong △ BMN : MN = tan ( α ) MB ​ = 25 18 5 ​ ​ Trong △ S A C : A C A M ​ = EC MN ​ = 5 5 9 ​ ​ = 25 9 ​ suy ra EC = 9 25 MN ​ = 2 5 ​ Ta có S A = 2 SE = 2 S C 2 − E C 2 ​ = 2 5 ​ Và S H . A C = S A . EC ⇔ S H = A C S A . EC ​ = 5 2 5 ​ .2 5 ​ ​ = 4 Vậy thể tích khối chóp là V = 3 1 ​ . S H . S A BC D ​ = 3 1 ​ .4.3.4 = 16