Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên x để tồn tại số thực y thỏa mãn hệ thức log 4 ( x + y ) = log 11 ( x 2 + y 2 )

Giải thích

Ta có điều kiện: x + y > 0 Đặt lo g 4 ​ ( x + y ) = lo g n ​ ( x 2 + 2 y 2 ) = t ⇔ { x + y = 4 ′ x 2 + 2 y 2 = 1 1 ′ ​ ( ∗ ) Thế y từ phương trình trên xuống phương trình dưới của hệ (*), ta được: x 2 +2(4 t − x) 2 = 11 t ⇒3x 2 − 4 .4 t x + 2 . 16 t − 11 t = 0 (**) Điều kiện để (1) có nghiệm là: △ ' = 4 . 16 t –3 . [ 2 . 16 t – 11 t ] ≥ 0 ⇔ 3.11 t – 2 . 16 t ≥ 0 ⇔ lo g 11 16 ​ ​ ( 2 3 ​ ) Suy ra: x² + 2y² = 1 1 l o g 11 16 ​ ​ ( 2 3 ​ ) ≈ 13 , 4 ⇒ x 2 ≤ 13 , 4 ( 1 ) Suy ra -3 ≤ x ≤ 3 Đến đây hoặc ta thử từng nghiệm nguyên x vào phương trình (**) rồi dùng CASIOcó tồn tại số thực tkhông. Nếu tồn tại t cũng là tồn tại số thực y và thỏa mãn Tuy nhiên, đa số dạng bài toán này sẽ phán đoán được các giá trị nguyên: 0≤ x ≤ 3 Chỉ bằng cách ta cho nghiệm nhỏ của phương trình (**) thử xem: x = 3 2. 4 t − 3.1 1 t − 2.1 6 t ​ ​ ≤ − 1 ⇔ 2. 4 t + 3 ≤ 3.1 1 t − 2.1 6 t ​ ⇔ 6.1 6 t + 12. 4 t + 9 ≤ 3.1 1 t Với t ≥ 0 ⇒ 16 t ≥ 11 t ⇒ (6.16 t + 12.4 t + 9) > 3.11 t Với t < 0 ⇒ 4 t > 11 t ⇒ (6.16 t + 12.4 t + 9) > 3.11 t Su ỷa số nguyên x sẽ thỏa mãn: 0 ≤ x ≤ 3 . Vậy có tất cả 4 giá trị x nguyên thỏa mãn bài toán. Chọn đáp án A. Ta có thể dùng phương pháp hình học với dạng bài toán này