Ta có ∫ 0 π x ( π 1 + sin x ) d x = ∫ 0 π ( π x + x sin x ) d x
= π 1 ∫ 0 π x d x + A = 2 π x 2 ∣ ∣ 0 π + A = 2 π + A (1)
với A = ∫ 0 π x sin x d x . Đặt x = π − t , x = 0 thì t = π , x = π thì t=0: d x = − d t .
Ta có A = ∫ 0 π x sin x d x = ∫ π 0 ( π − t ) sin ( π − t ) ( − d t ) = π ∫ 0 π sin t − ∫ 0 π t sin t d t
⇒ A = π ∫ 0 π sin t d t − ∫ 0 π t sin t d t = π ∫ 0 π sin x d x − ∫ 0 π x sin x d x = ∫ 0 π sin x d x − A .
⇒ 2 A = π ∫ 0 π sin x d x = − π cos x ∣ 0 π = π ⇒ A = 2 π (2)
Thay (2) vào (1) có ∫ 0 π x ( π 1 + sin x ) d x = 2 π + 2 π = π .
Ta có ∫0πx(π1+sinx)dx=∫0π(πx+xsinx)dx
=π1∫0πxdx+A=2πx2∣∣0π+A=2π+A (1)
với A=∫0πxsinxdx. Đặt x=π−t,x=0 thì t=π,x=π thì t=0 : dx=−dt.
Ta có A=∫0πxsinxdx=∫π0(π−t)sin(π−t)(−dt)=π∫0πsint−∫0πtsintdt
