Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức ab + b c + c a = 1 .Chứng minh rằng 2 ab c ( a + b + c ) ≤ 9 5 ​ + a 4 b 2 + b 4 c 2 + c 4 a 2

Giải thích

Ta có ⎩ ⎨ ⎧ ​ a 4 b 2 + b 4 c 2 ≥ 2 a 2 b 3 c b 4 c 2 + c 4 a 2 ≥ 2 a b 2 c 3 a 4 b 2 + c 4 a 2 ≥ 2 a 3 b c 2 ​ nên a 4 b 2 + b 4 c 2 + c 4 a 2 ≥ ab c ( a b 2 + b c 2 + c a 2 ) Suy ra a 4 b 2 + b 4 c 2 + c 4 a 2 + 9 1 ​ = a 4 b 2 + b 4 c 2 + c 4 a 2 + 9 ab + b c + c a ​ ≥ ab c ( a b 2 + b c 2 + c a 2 ) A = ab c ( a 2 b + b 2 c + c 2 a + 9 a 1 ​ + 9 b 1 ​ + 9 c 1 ​ ) = ab c [ ( a b 2 + 9 a 1 ​ ) + ( b c 2 + 9 b 1 ​ ) + ( c a 2 + 9 c 1 ​ ) ] A ≥ ab c ( 3 2 ​ a + 3 2 ​ b + 3 2 ​ c ) = 3 2 a c ​ ( a + b + c ) ⇒ a 4 b 2 + b 4 c 2 + c 4 a 2 + 9 1 ​ ≥ 3 2 a c ​ ( a + b + c ) ( 1 ) Ta lại có a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≥ a b 2 c + a 2 b c + ab c 2 ⇔ a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 + 2 ( a b 2 c + a 2 b c + ab c 2 ) ≥ 3 ( a b 2 c + a 2 b c + ab c 2 ) ⇔ ( ab + b c + c a ) 2 ≥ 3 ab c ( a + b + c ) 3 1 ​ ≥ ab c ( a + b + c ) ⇔ 9 4 ​ ≥ 3 4 ab c ​ ( a + b + c ) ( 2 ) Từ (1) và (2) ta có 2 ab c ( a + b + c ) ≤ 9 5 ​ + a 4 b 2 + b 4 c 2 + c 4 a 2 Dấu ”=” xảy ra khi a = b = c = 3 ​ 1 ​ Cách 2 Đặt ab = x , b c = y , a c = z ( x , y , z > 0 ) Vì ab + b c + c a = 1 ⇒ x + y + z = 1 Suy ra 2 ( x y + yz + x z ) ≤ 9 5 ​ + a 4 b 2 + b 4 c 2 + c 4 a 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si a 4 b 2 + b 4 c 2 ≥ 2 a 2 b 2 b c = 2 x 2 y b 4 c 2 + c 4 a 2 ≥ 2 b 2 c 2 a c = 2 y 2 z c 4 a 2 + a 4 b 2 ≥ 2 a 2 c 2 ba = 2 z 2 x ⇒ 2 ( x y + yz + x z ) ≤ 9 5 ​ + a 4 b 2 + b 4 c 2 + c 4 a 2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi x 2 y + 9 1 ​ y ≥ 3 2 ​ y x y 2 z + 9 1 ​ z ≥ 3 2 ​ yz z 2 x + 9 1 ​ ≥ 3 2 ​ z x ⇒ x 2 y + y 2 z + z 2 x + 9 1 ​ ( x + y + z ) ≥ 3 2 ​ ( x y + yz + x z ) 9 4 ​ = 9 4 ​ ( x + y + z ) 2 ≥ 3. 9 4 ​ ( x y + yz + x z ) = 3 4 ​ ( x y + yz + x z ) ⇒ x 2 y + y 2 z + z 2 x + 9 5 ​ ≥ 2 ( x y + yz + x z ) Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 3 1 ​ . Suy ra a = b = c = 3 ​ 1 ​ Từ u = 2 x + 1 ⇒ x = 2 u − 1 ​ = 2 ( 2 x + 1 ) − 1 ​