Giảiphương trình nghiệm nguyên sau đây: x 3 + 3 y 3 + 9 z 3 − 9 x yz = 0

Giải thích

Giả sử ( x 0 ​ , y 0 ​ , z 0 ​ ) lag nghiệm nguyên của phương trình đã cho Ta có x 0 3 ​ + 3 y 0 3 ​ + 9 z 0 3 ​ − 9 x 0 ​ y 0 ​ z 0 ​ = 0 → x 0 ​ ⋮ 3 → 3 y 0 3 ​ ⋮ 9 → y 0 ​ ⋮ 3 → 9 z 0 3 ​ ⋮ 27 → z 0 ​ ⋮ 3 Đặt x 0 ​ = 3 x 1 ​ , y 0 ​ = 3 y 1 ​ , z 0 ​ = 3 z 1 ​ . S u y r a x 1 3 ​ + 3 y 1 3 ​ + 9 z 1 3 ​ − 9 x 1 ​ y 1 ​ z 1 ​ = 0 Lập luận tương tự trên ta suy ra x 1 ​ , y 1 ​ , z 1 ​ đ e ^ ˋ u ⋮ 3 , t ứ c l a ˋ x 0 ​ , y 0 ​ , z 0 ​ đ e ^ ˋ u ⋮ 3 2 Lập lại nhiều lần lập luận trên đây ta suy ra x 0 ​ , y 0 ​ , z 0 ​ đ e ^ ˋ u ⋮ 3 n , ∀ n ≥ 1 Suy ra x 0 ​ = y 0 ​ = z 0 ​ = 0 Ngược lại, rõ ràng (0, 0, 0) là nghiệm của phươngtrình đã cho Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (0, 0, 0)