Gọi x 1 là một nghiệm của phương trình a x 2 + b x + c = 0 ( 1 ) , x 2 là nghiệm của phương trình − a x 2 + b x + c = 0 ( 2 ) . CMR: phương trình 2 a ​ x 2 + bx + c = 0 ( 3 ) luôn luôn có ít nhất một nghiệm x 3 thỏa mãn điều kiện x 1 ​ ≤ x 3 ​ ≤ x 2 ​ ( 4 ) hoặc x 2 ​ ≤ x 3 ​ ≤ x 1 ​ ( 5 ) .

Giải thích

1) Nếu a = 0⇒ theo giả thiết (1), (2) luôn có nghiệm⇒ b = 0⇒ phải có c = 0⇒ hiển nhiên đúng và (1), (2), (3) đúng với ∀ x . b≠ 0⇒ (1), (2), (3) cùng có 1 nghiệm x = − b c ​ ⇒ đúng. Vậy a = 0, ∀ b , c ⇒ (4) và (5) đều đúng. 2) Nếu a≠ 0⇒ Nếu c = 0⇒ (1) có nghiệm là 0 và ( − a b ​ ) , (2) có nghiệm là 0 và ( a b ​ ) , (3) có nghiệm là 0 và ( − a 2 b ​ ) ⇒ Lấy x 3 = 0 sẽ thỏa mãn (4) hoặc (5). Nếu c≠ 0⇒ (1) ⇒ 2 a ​ x 1 2 ​ + b x 1 ​ + c = − 2 a ​ x 1 2 ​ ( 6 ) (2) ⇒ 2 a ​ x 2 2 ​ + b x 2 ​ + c = 2 3 a ​ x 2 2 ​ ( 7 ) Vì a, c≠ 0⇒ (6) và (7) ⇒ f x 1 ​ . f x 2 ​ = 4 − 3 a ​ x 1 2 ​ x 2 2 ​ < 0 ( v ı ˋ x 1 ​ . x 2 ​ = a c ​  = 0 ) Với f ( x ) = 2 a ​ x 2 + bx + c Vậy phương trình f ( x ) = 2 a ​ x + bx + c = 0 ( 3 ) luôn luôn có nghiệm x 3 thỏa mãn. [ x 1 ​ < x 3 ​ < x 2 ​ n e ^ ˊ u x 1 ​ < x 2 ​ x 2 ​ < x 3 ​ < x 1 ​ n e ^ ˊ u x 2 ​ < x 1 ​ ​ Kết hợp 2 trường hợp a = 0 và a≠ 0 ta có (4), (5).