Câu hỏi
Gọi S và Q là chân đường vuông góc kẻ từ điểm K đến các cạnh AB, AC. Đường thẳng QS cắt BC tại G , đường thẳng GA cắt đường tròn (O ;R ) tại điểm J ( J khác A ). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQS . Chứng minh ba điểm I, K, J thẳng hàng.
Gọi S và Q là chân đường vuông góc kẻ từ điểm K đến các cạnh AB, AC. Đường thẳng QS cắt BC tại G , đường thẳng GA cắt đường tròn (O ;R ) tại điểm J ( J khác A ). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQS . Chứng minh ba điểm I, K, J thẳng hàng.
N. Huỳnh
Giáo viên
Giải thích
Vì ASKQlà tứ giác nội tiếp nên: GQ K = B A K Mà B A K = G K S (cùng phụ với SB K ) nên GQ K = G K S Δ GQ K ∽ Δ G K S ( g ⋅ g ) ⇒ G K GQ = GS G K ⇒ G K 2 = GS . GQ (2) Từ (1) và ( 2 ) ⇒ G K 2 = GB . GC JKcắt (O)tại D (Dkhác K)thì AD là đường kính của (O). Gọi Ilà trung điểm KD, Llà trung điểm QC. Khi đó OI là đường trung bình của △ A KD ⇒ O I // A K ⇒ O I ⊥ BC Mà OB=OCnên OIlà trung trực BC(3) Vì KQ / / DC(cùng vuông góc AC) nên KQCD là hình thang. ⇒ I L là đường trung bình của hình thang KQCD ⇒ I L // K Q ⇒ I L ⊥ QC => IL là trung trực của QC (4) Từ (3) và ( 4 ) ⇒ I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BSQC Vậy I, K, Jthẳng hàng.
Vì ASKQ là tứ giác nội tiếp nên:
Mà (cùng phụ với )
nên
Từ (1) và
JK cắt (O) tại D (D khác K) thì AD là đường kính của (O).
Gọi I là trung điểm KD, L là trung điểm QC.
Khi đó OI là đường trung bình của
Mà OB=OC nên OI là trung trực BC (3)
Vì KQ / / DC (cùng vuông góc AC ) nên KQCD là hình thang.
là đường trung bình của hình thang KQCD
=> IL là trung trực của QC (4)
Từ (3) và là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BSQC
Vậy I, K, J thẳng hàng.
1
Câu hỏi tương tự
TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG
