Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình x 6 + 6 x 4 − m 3 x 3 + 13 x 2 − m x + 10 ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ [ 1 ; 4 ] Tích tất cả các phần tử của S là

Giải thích

Lời giải : Chọn D x 6 + 6 x 4 − m 3 x 3 + 13 x 2 − m x + 10 ≥ 0 ⇔ ( x 2 + 2 ) + ( x 2 + 2 ) ≥ ( m x ) 3 + ( m x ) ( ∗ ) Xét hàm số: f ( t ) = t 3 + t f ′ ( t ) = 3 t 2 + 1 > 0 ⇒ f ( t ) luôn đồng biến (*) ⇔ f ( x 2 + 2 ) ≥ f ( m x ) ⇔ x 2 + 2 ≥ m x Do đó: x 6 + 6 x 4 − m 3 x 3 + 13 x 2 − m x + 10 ≥ 0∀ x ∈ [ 1 ; 4 ] ⇔ x 2 + 2 ≥ m x ∀ x ∈ [ 1 ; 4 ] ⇔ x + x 2 ​ ≥ m ∀ x ∈ [ 1 ; 4 ] ( ∗ ∗ ) ⇔ 2 2 ​ ≥ m (Do áp dụng BĐT Cauchy, ∀ x ∈ [ 1 ; 4 ] , x + x 2 ​ ≥ 2 2 ​ ) Mà m là số nguyên dương nên m ∈ { 1 ; 2 } ⇒ S = { 1 ; 2 } Vậy chọn D Nhận xét: Bước (**), cách khác ta xét hàm số g ( x ) = x + x 2 ​ , x ∈ [ 1 ; 4 ] t a c o ˊ : 2 2 ​ ≥ m