Gọi Slà tập hợp các giá trị nguyên mđể đồ thị hàm số y = ∣ ∣ ​ 3 x 4 − 8 x 3 − 6 x 2 + 24 x − m ∣ ∣ ​ có 7 điểm cực trị. Tính tổng các phần tử của S

Giải thích

Đặt g ( x ) = 3 x 4 − 8 x 3 − 6 x 2 + 24 x − m . Ta có số điểm cực trị của hàm số y = ∣ ∣ ​ 3 x 4 − 8 x 3 + 24 x − m ∣ ∣ ​ bằng a + b . Với a là số điểm cực trị của hàm g ( x ) và b là số nghiệm đơn (bội lẻ) của phương trình g ( x ) = 0. Xét hàm số g ( x ) = 3 x 4 − 8 x 3 − 6 x 2 + 24 x − m ta có g ′ ( x ) = 12 x 3 − 24 x 2 − 12 x + 24 = 12 ( x + 1 ) ( x − 2 ) ( x − 1 ) suy ra hàm số g(x) có 3 điểm cực trị. Xét phương trình g ( x ) = 0 ⇔ g ( x ) = 3 x 4 − 8 x 3 − 6 x 2 + 24 x − m = 0 ⇔ 3 x 4 − 8 x 3 − 6 x 2 + 24 x = m . Đồ thị hàm số y = ∣ g ( x ) ∣ có 7 điểm cực trị khi phương trình g ( x ) = 0 có đúng 4 nghiệm phân biệt tương đương với hai đồ thị hàm số y = 3 x 4 − 8 x 3 − 6 x 2 + 24 x và y = m có 4 giao điểm phân biệt. Từ bảng biến thiên ta có phương trình g ( x ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt khi 8 < m < 13. Mà m ∈ Z nên m ∈ { 9 ; 10 ; 11 ; 12 } . Vậy tổng các giá trị của tham số m là S = 9 + 10 + 11 + 12 = 42.