Square root
VBT
Calculator
magnet

Câu hỏi

Gọi M ( x M ​ ; y M ​ ) là một điểm thuộc ( C ) : y = x 3 − 3 x 2 + 2 , biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm N ( x N ​ ; y N ​ ) (khác M) sao cho P = 5 x 2 M ​ + x 2 N ​ đạt GTNN. Tính OM

Gọi  là một điểm thuộc , biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm  (khác M) sao cho  đạt GTNN. Tính OM

E. Elsa

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Chọn D Hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 TXĐ: D = R Ta có: y ′ = 3 x 2 − 6 x ⇒ Tiếp tuyến của (C) tại M ( x M ​ ; y M ​ ) có phương trình là: y = ( 3 x 2 M ​ − 6 x M ​ ) ( x − x M ​ ) + x 3 M ​ − 3 x 2 M ​ + 2 Tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm N ( x N ​ ; y N ​ ) (khác M) nên x M ​ ; x N ​ là nghiệm của phương trình: x 3 − 3 x 2 + 2 = ( 3 x 2 M ​ − 6 x M ​ ) ( x − x M ​ ) + x 3 M ​ − 3 x 2 M ​ + 2 ⇔ ( x 3 − x 3 M ​ ) − 3 ( x 2 − x 2 M ​ ) − ( 3 x 2 M ​ − 6 x M ​ ) ( x − x M ​ ) = 0 ⇔ ( x − x M ​ ) 2 ( x + 2 x M ​ − 3 ) = 0 ⇔ [ x = x M ​ x = − 2 x M ​ + 3 ​ M khác N ⇔ x M ​  = − 2 x M ​ + 3 ⇔ 3 x M ​  = 3 ⇔ x M ​  = 1 ⇒ x N ​ = − 2 x M ​ + 3 Khi đó: P = 5 x 2 M ​ + x 2 M ​ = 5 x 2 M ​ + ( − 2 x M ​ + 3 ) 2 = 9 x 2 M ​ − 12 x M ​ + 9 = ( 3 x M ​ − 2 ) 2 + 5 ≥ 5 v ớ i ∀ x M ​ Dấu "=" xảy ra ⇔ ( 3 x M ​ − 2 ) 2 = 0 ⇔ 3 x M ​ − 2 = 0 ⇔ 3 x M ​ = 2 ⇔ x M ​ = 3 2 ​ (thỏa mãn) Với x M ​ = 3 2 ​ ⇒ y M ​ = 27 26 ​ ⇒ OM = ( 3 2 ​ ) 2 + ( 27 26 ​ ) 2 ​ = 27 10 10 ​ ​ Vậy OM = 27 10 10 ​ ​

Chọn D

Hàm số 

TXĐ: 

Ta có: Tiếp tuyến của (C) tại  có phương trình là:

Tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm  (khác M) nên  là nghiệm của phương trình:

M khác N

Khi đó:

Dấu "=" xảy ra 

 (thỏa mãn)

Với 

Vậy 

1

Câu hỏi tương tự

Trong không gian , cho mặt phẳng và ba điểm , và . Điểm trên sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Tính .

0

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG