Câu hỏi

Gỉa sử a 1 , a 2 , ... , a n là các số thực dương thỏa mãn a 1 a 2 ... a n = 1 và m ≥ n Chứng minh rằng a 1 m + a 2 m + ... + a n m + mn ≥ ( m + 1 ) ( a 1 1 + a 2 1 + ... + a n 1 )

Gỉa sử $a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$ là các số thực dương thỏa mãn $a_{1} a_{2} ... a_{n} = 1$ và $m \geq n$

Chứng minh rằng $a_{1}^{m} + a_{2}^{m} + ... + a_{n}^{m} + mn \geq (m + 1) (\frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}} + ... + \frac{1}{a _{n}})$

R. Robo.Ctvx9

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ta viết bất đẳng thức này dưới dạng f ( a 1 ) + f ( a 2 ) + ... + f ( a n ) ≥ n f ( n a 1 a 2 ... a n ) trong đó f ( t ) = t m − t m + 1 . t > 0 .Đặt f 1 ( u ) = f ( e n ) = e m u − ( m + 1 ) e − u Đạohàm cấp 2 f 1 " ( u ) = m 2 e m u − ( m + 1 ) e − u = e − u [ m 2 e ( m + 1 ) u − m − 1 ] ,chứng tỏ f 1 ( u ) lồi với u ≥ ln r = 0 ,trong đó r = 1 , bởi vì m 2 e ( m + 1 ) u − m − 1 ≥ m 2 − m − 1 > 0 Để áp dụng hệ quả LCF, chỉ cần chứng minh rằng bất đẳng thức đã cho là đúng với a 2 = a 3 = ... = a n ≥ 1 ;Nghĩa là chứng minh rằng x m + ( n − 1 ) y m + mn − x m + 1 − y ( m + 1 ) ( n − 1 ) ≥ 0 với 0 < x ≤ 1 ≤ y và x y n − 1 = 1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM , ta có x m + ( mn − m − 1 ) ≥ m ( n − 1 ) n − 1 x = y m ( n + 1 ) Do đó ta cần chứng minh ( n − 1 ) ( y m − y 1 ) − ( m + 1 ) ( x 1 − 1 ) ≥ 0 Bất đẳng thức này ⇔ h ( y ) ≥ 0 y ≥ 1 , trong đó h ( y ) = ( n − 1 ) ( y m + n − 1 ) − ( m + 1 ) ( y n − y ) Do m + 1 h ′ ( y ) = ( n − 1 ) y m − n y n − 1 + 1 ≥ ( n − 1 ) y n − n y n − 1 + 1 = n y n − 1 ( y − 1 ) − ( y n − 1 ) = ( y − 1 ) [ ( y n − 1 − y n − 2 ) + ( y n − 1 − y n − 3 ) + ... + ( y n − 1 − 1 ) ] ≥ 0 Hàm h(y) tăng.Vì vậy h(y) ≥ h(1)=0.Đẳng thức xảy ra khi a 1 = a 2 = ... = a n = 1

Ta viết bất đẳng thức này dưới dạng $f (a_{1}) + f (a_{2}) + ... + f (a_{n}) \geq n f (n a_{1} a_{2} ... a_{n})$ trong đó $f (t) = t^{m} - \frac{m + 1}{t} . t > 0$ .Đặt $f_{1} (u) = f (e^{n}) = e^{m u} - (m + 1) e^{- u}$

Đạo hàm cấp 2 $f_{1}^{"} (u) = m^{2} e^{m u} - (m + 1) e^{- u} = e^{- u} [m^{2} e^{(m + 1) u} - m - 1]$ ,chứng tỏ $f_{1} (u)$ lồi với $u \geq ln r = 0$ ,trong đó r = 1 , bởi vì $m^{2} e^{(m + 1) u} - m - 1 \geq m^{2} - m - 1 > 0$

Để áp dụng hệ quả LCF, chỉ cần chứng minh rằng bất đẳng thức đã cho là đúng với $a_{2} = a_{3} = ... = a_{n} \geq 1$ ;Nghĩa là chứng minh rằng

$x^{m} + (n - 1) y^{m} + mn - \frac{m + 1}{x} - \frac{( m + 1 ) ( n - 1 )}{y} \geq 0$ với $0 < x \leq 1 \leq y$ và $x y^{n - 1} = 1$

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM , ta có $x^{m} + (mn - m - 1) \geq m (n - 1) n - 1 x = \frac{m ( n + 1 )}{y}$

Do đó ta cần chứng minh $(n - 1) (y^{m} - \frac{1}{y}) - (m + 1) (\frac{1}{x} - 1) \geq 0$

Bất đẳng thức này $\Leftrightarrow h (y) \geq 0 y \geq 1$ , trong đó $h (y) = (n - 1) (y^{m + n} - 1) - (m + 1) (y^{n} - y)$

Do $\frac{h ^{'} ( y )}{m + 1} = (n - 1) y^{m} - n y^{n - 1} + 1 \geq (n - 1) y^{n} - n y^{n - 1} + 1 =$

$n y^{n - 1} (y - 1) - (y^{n} - 1) = (y - 1) [(y^{n - 1} - y^{n - 2}) + (y^{n - 1} - y^{n - 3}) + ... + (y^{n - 1} - 1)] \geq 0$

Hàm h(y) tăng.Vì vậy h(y) $\geq$ h(1)=0.Đẳng thức xảy ra khi $a_{1} = a_{2} = ... = a_{n} = 1$

Câu hỏi tương tự

Gỉa sử a 1 , a 2 , ... , a n ( n ≥ 3 ) là các số thực dương thỏa mãn n a 1 a 2 ... a n = p ≥ n − 1 Chứng minh rằng ( 1 + a 1 ) 2 1 + ( 1 + a 2 ) 2 1 + ... + ( 1 + a n ) 2 ...

Xác nhận câu trả lời

Cho k > 0 , a , b , c ≥ 0 và a + b + c = 3 .Chứng minh rằng: ( ab ) k + ( b c ) k + ( c a ) k ≤ ma x { 3 , ( 2 3 ) 2 k } ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Gieo đồng thời 3 quân xúc sắc.Anh là người thắng cuộc nếu có xuất hiện ít nhất "2 mặt lục".Tín xác suất để trong 5 ván chơi anh thắng ít nhất ba ván

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c ≥ 0 ab + b c + c a = 1 ( ∗ ) Chứng minh rằng a + b 1 + b + c 1 + c + a 1 ≥ 2 5

Xác nhận câu trả lời

Gỉa sử x 1 , x 2 , ... , x n là các số thực dương thỏa mãn x 1 + x 2 + ... + x n = 1 . Chứng minh ( x 1 1 − x 1 ) ( x 2 1 − x 2 ) ... ( x n 1 − x n ) ≥ ...

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG