Câu hỏi

Cho { a , b , c > 0 a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Chứng minh: S = a 1 + b 1 + c 1 + 2 3 ( a + b + c ) ≥ 2 15 ( ∗ )

Cho ${a, b, c > 0 a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$ . Chứng minh: $S = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{3}{2} (a + b + c) \geq \frac{15}{2} (*)$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Bước 1: 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ ( a + b + c ) 2 hay 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ a + b + c Bước 2: a 1 + b 1 + c 1 ≥ 3 3 a 1 . b 1 . c 1 = 3 abc 3 ≥ a + b + c 9 ≥ ≥ 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) 9 = 3 Bước 3: ( a 1 + b 1 + c 1 ) ( a + b + c ) 2 = ( a 1 + b 1 + c 1 ) ( a 2 + b 2 + c 2 + 2 ab + 2 bc + 2 ca ) = ( a 1 + b 1 + c 1 ) ( 3 + 2 ab + 2 bc + 2 ca ) = 3 ( a 1 + b 1 + c 1 ) + 4 ( a + b + c ) + 2 ( a bc + b ca + c ab ) = 3 ( a 1 + b 1 + c 1 ) + 4 ( a + b + c ) + ( a bc + b ca ) + ( b ca + c ab ) + ( c ab + a bc ) ≥ 3 ( a 1 + b 1 + c 1 ) + 4 ( a + b + c ) + 2 a bc . b ca + 2 b ca . c ab + 2 c ab . a bc = 3 [ ( a 1 + b 1 + c 1 ) + ( a + b + c ) + ( a + b + c ) ] ≥ ≥ 9 3 ( a 1 + b 1 + c 1 ) ( a + b + c ) 2 ( ( a 1 + b 1 + c 1 ) ( a + b + c ) 2 ) ≥ 9 3 ( a 1 + b 1 + c 1 ) ( a + b + c ) 2 ⇒ ( a 1 + b 1 + c 1 ) ( a + b + c ) 2 ≥ 27 Bước 4: S = 4 1 ( a 1 + b 1 + c 1 ) + + 4 3 [ ( a 1 + b 1 + c 1 ) + ( a + b + c ) + ( a + b + c ) ] ≥ ≥ 4 1 . 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) 9 + 4 3 . 3 ( a 1 + b 1 + c 1 ) ( a + b + c ) 2 ≥ ≥ 4 1 .3 + 4 3 .3 3 27 = 2 15

Bước 1: $3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq (a + b + c)^{2}$ hay $3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq a + b + c$

Bước 2:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3 3 \frac{1}{a} . \frac{1}{b} . \frac{1}{c} = \frac{3}{3 abc} \geq \frac{9}{a + b + c} \geq \geq \frac{9}{3 ( a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} )} = 3$

Bước 3:

$(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) (a + b + c)^{2} = (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) (a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 bc + 2 ca) = (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) (3 + 2 ab + 2 bc + 2 ca) = 3 (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + 4 (a + b + c) + 2 (\frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} + \frac{ab}{c}) = 3 (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + 4 (a + b + c) + (\frac{bc}{a} + \frac{ca}{b}) + (\frac{ca}{b} + \frac{ab}{c}) + (\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a}) \geq 3 (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + 4 (a + b + c) + 2 \frac{bc}{a} . \frac{ca}{b} + 2 \frac{ca}{b} . \frac{ab}{c} + 2 \frac{ab}{c} . \frac{bc}{a} = 3 [(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + (a + b + c) + (a + b + c)] \geq \geq 9 3 (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) (a + b + c)^{2} ((\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) (a + b + c)^{2}) \geq 9^{3} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) (a + b + c)^{2} \Rightarrow (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) (a + b + c)^{2} \geq 27$

Bước 4:

$S = \frac{1}{4} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + + \frac{3}{4} [(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + (a + b + c) + (a + b + c)] \geq \geq \frac{1}{4} . \frac{9}{3 ( a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} )} + \frac{3}{4} . 3 (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) (a + b + c)^{2} \geq \geq \frac{1}{4} .3 + \frac{3}{4} .3 327 = \frac{15}{2}$

Câu hỏi tương tự

Cho a, b, c > 0. Chứng minh: ( a 5 − a 2 + 3 ) ( b 5 − b 2 + 3 ) ( c 5 − c 2 + 3 ) ≥ ( a + b + c ) 3

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 a + 2 b + 3 c ≥ 20 . Chứng minh: S = a + b + c + a 3 + 2 b 9 + c 4 ≥ 13

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 α ∈ Z + . Chứng minh: b + c a α + c + a b α + a + b c α ≥ 2 3 . a + b + c a α + b α + c α ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh rằng bc a 9 + ca b 9 + ab c 9 + abc 2 ≥ a 5 + b 5 + c 5 + 2 , ∀ a , b , c > 0 ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh: 2 ( x 3 + y 3 + z 3 ) − ( x 2 y + y 2 z + z 2 x ) ≤ 3 ∀ x , y , z ∈ [ 0 , 1 ]

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện

Cho { a , b , c &gt; 0 a 2 + b 2 + c 2 = 3 ​ . Chứng minh: S = a 1 ​ + b 1 ​ + c 1 ​ + 2 3 ​ ( a + b + c ) ≥ 2 15 ​ ( ∗ )

Giải thích

Câu hỏi tương tự

Cho { a , b , c > 0 a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Chứng minh: S = a 1 + b 1 + c 1 + 2 3 ( a + b + c ) ≥ 2 15 ( ∗ )