Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z = 3, tìm giá trị nhỏ nhất của x 4 + 2 y 4 + 3 z 4

Giải thích

Xét a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Sử dụng bất đẳng thức Holder: ( x 4 + 2 y 4 + 3 z 4 ) ( a 4 + 2 b 4 + 3 c 4 ) 3 ≥ ( a 3 x + 2 b 3 y + 3 c 3 z ) 4 Chọn a, b, c sao cho a 3 = 2 b 3 = 3 c 3 ⇔ a = k , b = 3 2 ​ k ​ , c = 3 3 ​ k ​ ( k > 0 ) Khi đó x 4 + 2 y 4 + 3 z 4 ≥ ( a 4 + 2 b 4 + 3 c 4 ) 3 ( a 3 x + 2 b 3 y + 3 c 3 z ) 4 ​ ≥ ≥ k 9 ( a + b + c ) 3 k 12 ( x + y + z ) 4 ​ = 3 k 3 Dấu bằng xảy ra ⇔ a x ​ = b y ​ = c z ​ ⇔ a x ​ = b y ​ = c z ​ = a + b + c x + y + z ​ = 1 Từ a + b + c = 3 suy ra k + 3 2 ​ k ​ + 3 3 ​ k ​ = 3 ⇔ k = 1 + 3 2 ​ 1 ​ + 3 3 ​ 1 ​ 3 ​ Vậy Min ( x 4 + 2 y 4 + 3 z 4 ) = 3 k 3 với k = 1 + 3 2 ​ 1 ​ + 3 3 ​ 1 ​ 3 ​ và x = k , y = 3 2 ​ k ​ , z = 3 3 ​ k ​