Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 3 . Chứng minh rằng z x y ​ + x yz ​ + y z x ​ = 3

Giải thích

Bình phương 2 vế bất đẳng thức cần chứng minh được viết dưới dạng z 2 x 2 y 2 ​ + x 2 y 2 z 2 ​ + y 2 z 2 x 2 ​ + 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 = 9 U z 2 x 2 y 2 ​ + x 2 y 2 z 2 ​ + y 2 z 2 x 2 ​ = 3 Sử dụng bất đẳng thức AM –GM cho 2 số dương ta được z 2 x 2 y 2 ​ + x 2 y 2 z 2 ​ ÷ 2 z 2 x 2 y 2 ​ . x 2 y 2 z 2 ​ ​ = 2 y 2 . Tương tự ta có x 2 y 2 z 2 ​ + y 2 z 2 x 2 ​ ÷ 2 . Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta có ngay điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z= 1 .