Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn: x+y+z+2=xyz. Chứng minh rằng: 2(x+y+z)≤xy+yz+zx

Giải thích

Từ giả thiết ta có: ​ x yz = 2 + x + y + z ≥ 2 + 3 3 x yz ​ ⇒ ( 3 x yz ​ − 2 ) ( 3 x yz ​ + 1 ) 2 ≥ 0 ⇒ 3 x yz ​ ≥ 2 ⇒ x yz ≥ 8 ⇒ x + y + z ≥ 6 ​ Ta có: Trong 3 số x-2;y-2;z-2 có ít nhất 2 số cùng dấu. Không mất tính tổng quát, giả sử là y-2 và z-2 : ⇒(y-2)(z-2)≥0⇒yz+4≥2(y+z)⇒2x+yz+4≥2(x+y+z) Ta cần chứng minh: xy+zx≥2x+4 Ta có: x + y + z + 2 = x yz ≤ x ⋅ 4 ( y + z ) 2 ​ ⇔ ( y + z + 2 ) [ x ( y + z ) − 2 x − 4 ] ≥ 0 ⇒ x ( y + z ) − 2 x − 4 ≥ 0 ⇒ x y + z x ≥ 2 x + 4 ​ ​ Vậy 2(x+y+z)≤xy+yz+zx. Đẳng thức xảy ra khi và chỉkhi x=y=z=2