Câu hỏi

Cho x, ythỏa mãn lo g 3 x 2 + y 2 + x y + 2 x + y = x ( x − 9 ) + y ( y − 9 ) + x y .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y − 10 3 x + 2 y − 9 khi x, ythay đổi.

Cho x, y thỏa mãn $lo g_{3} \frac{x + y}{x ^{2} + y ^{2} + x y + 2} = x (x - 9) + y (y - 9) + x y$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{3 x + 2 y - 9}{x + y - 10}$ khi x, y thay đổi.

N. Huỳnh

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Đáp án A Cách giải lo g 3 x 2 + y 2 + x y + 2 x + y = x ( x − 9 ) + y ( y − 9 ) + x y ⇔ lo g 3 ( x + y ) − lo g 3 ( x 2 + y 2 + x y + 2 ) + 2 = x 2 + y 2 + x y + 2 − 9 x − 9 y ( x + y > 0 ) ⇔ lo g 3 ( 9 x + 9 y ) + ( 9 x + 9 y ) = lo g 3 ( x 2 + y 2 + x y + 2 ) + x 2 + y 2 + x y + 2 ( ∗ ) Xét hàm số f ( t ) = lo g 3 t + t ( t > 0 ) ta có f ′ ( t ) = t ln 3 1 + 1 > 0 =>Hàm số đồng biến trên ( 0 ; + ∞ ) Từ (*) ⇒ f ( 9 x + 9 y ) = f ( x 2 + y 2 + x y + 2 ) ⇔ 9 x + 9 y = x 2 + y 2 + x y + 2 ⇔ 9 ( x + y ) = ( x + y ) 2 − x y + 2 ⇔ x y = ( x + y ) 2 − 9 ( x + y ) + 2 Ta có x y = ( x + y ) 2 − 9 ( x + y ) + 2 ≤ ( 2 x + y + 1 ) 2 − x ⇔ x ≤ ( 2 x + y + 1 ) 2 − ( x + y ) 2 + 9 ( x + y ) − 2 Đặt t = x + y > 0 thì P = x + y − 10 3 x + 2 y − 9 = t + 10 x + 2 t − 9 ≤ t + 10 4 ( t + 1 ) 2 − t 2 + 9 t − 2 + 2 t − 9 = 4 t + 40 t 2 + 2 t + 1 − 4 t 2 + 44 t − 44 = 4 t + 40 − 3 t 2 + 46 t − 43 Xét hàm số f ( t ) = 4 t + 40 − 3 t 2 + 46 t − 43 ( t  = 10 ) Sử dụng MTCT ta tìm được ma x P = 2

Đáp án A

Cách giải

$lo g_{3} \frac{x + y}{x ^{2} + y ^{2} + x y + 2} = x (x - 9) + y (y - 9) + x y$

$\Leftrightarrow lo g_{3} (x + y) - lo g_{3} (x^{2} + y^{2} + x y + 2) + 2 = x^{2} + y^{2} + x y + 2 - 9 x - 9 y (x + y > 0) \Leftrightarrow lo g_{3} (9 x + 9 y) + (9 x + 9 y) = lo g_{3} (x^{2} + y^{2} + x y + 2) + x^{2} + y^{2} + x y + 2 (*)$

Xét hàm số $f (t) = lo g_{3} t + t (t > 0)$ ta có $f^{'} (t) = \frac{1}{t ln 3} + 1 > 0$ => Hàm số đồng biến trên $(0; + \infty)$

Từ (*) $\Rightarrow f (9 x + 9 y) = f (x^{2} + y^{2} + x y + 2) \Leftrightarrow 9 x + 9 y = x^{2} + y^{2} + x y + 2 \Leftrightarrow 9 (x + y) = (x + y)^{2} - x y + 2 \Leftrightarrow x y = (x + y)^{2} - 9 (x + y) + 2$

Ta có $x y = (x + y)^{2} - 9 (x + y) + 2 \leq (\frac{x + y + 1}{2})^{2} - x \Leftrightarrow x \leq (\frac{x + y + 1}{2})^{2} - (x + y)^{2} + 9 (x + y) - 2$

Đặt $t = x + y > 0$ thì

$P = \frac{3 x + 2 y - 9}{x + y - 10} = \frac{x + 2 t - 9}{t + 10} \leq \frac{\frac{( t + 1 ) ^{2}}{4} - t ^{2} + 9 t - 2 + 2 t - 9}{t + 10} = \frac{t ^{2} + 2 t + 1 - 4 t ^{2} + 44 t - 44}{4 t + 40} = \frac{- 3 t ^{2} + 46 t - 43}{4 t + 40}$

Xét hàm số $f (t) = \frac{- 3 t ^{2} + 46 t - 43}{4 t + 40} (t \neq = 10)$

Sử dụng MTCT ta tìm được $ma x P = 2$

Câu hỏi tương tự

Trong không gian O x yz , mặt phẳng ( O x z ) có phương trình là:

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên R ∖ { 1 } , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình bên. Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

Xác nhận câu trả lời

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A, A B = 1 , BC = 2 . Góc CBB ′ = 9 0 ∘ , A B B ′ = 12 0 ∘ . Biết d ( A B ′ , CM ) = 7 7 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

Xác nhận câu trả lời

Cho các số thực x, y dương và thỏa mãn lo g 2 3 x y + x 2 x 2 + y 2 + 2 l o g 2 ( x 2 + 2 y 2 + 1 ) ≤ lo g 2 8 x y .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 x y − y 2 2 x 2 − x y + 2 y 2

Xác nhận câu trả lời

Trong không gian Oxyz , cho điểm I ( 1 ; 5 ; 2 ) và mặt phẳng ( P ) : 2 x + y + 3 z + 1 = 0 . Phương trình của mặt cầu ( S ) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) là

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG