Cho x ∈ [ 0 , 1 ] . Tìm giá trị lớn nhất của S = 13 x 2 − x 4 ​ + 9 x 2 + x 4 ​

Giải thích

Với α , β > 0. Sử dụng bất đẳng thức AM- GM: + ⎩ ⎨ ⎧ ​ 13 x 2 − x 4 ​ = α 13 ​ . α 2 x 2 ( 1 − x 2 ) ​ ≤ ≤ α 13 ​ . 2 α 2 x 2 + ( 1 − x 2 ) ​ = 2 α 13 ( α 2 − 1 ) x 2 + 13 ​ 9 x 2 + x 4 ​ = β 9 ​ . β 2 x 2 ( 1 + x 2 ) ​ ≤ ≤ β 9 ​ . 2 β 2 x 2 + ( 1 + x 2 ) ​ = 2 β 9 ( β 2 + 1 ) x 2 + 13 ​ ​ ⇒ S = 13 x 2 − x 4 ​ + 9 x 2 + x 4 ​ ≤ ≤ [ 2 α 13 ( α 2 − 1 ) ​ + 2 β 9 ( β 2 − 1 ) ​ ] x 2 + 2 α 13 ​ + 2 β 9 ​ Dấu bằng xảy ra ⇔ { α 2 x 2 = 1 − x 2 β 2 x 2 = 1 + x 2 ​ ⇔ ( α 2 + 1 ) x 2 = ( β 2 − 1 ) x 2 = 1 Chọn α , β sao cho { α 2 + 1 = β 2 − 1 2 α 13 ( α 2 − 1 ) ​ + 2 β 9 ( β 2 + 1 ) ​ ​ ⇔ α = 2 1 ​ ; β = 2 3 ​ Vậy S ≤ 2 α 13 ​ + 2 β 9 ​ = 16 Dấu bằng xảy ra ⇔ ( α 2 + 1 ) x 2 = 1 ⇔ 4 5 ​ x 2 = 1 ⇔ x = 5 2 5 ​ ​ Vậy Max S = 16