Câu hỏi

Cho ab ( x 2 + y 2 ) + x y ( a 2 + b 2 ) = ab , trong đó x và y là các số khác 0 nhưng có tổng bằng 1. Chứng minh rằng a = b .

Cho $ab (x^{2} + y^{2}) + x y (a^{2} + b^{2}) = ab$ , trong đó x và y là các số khác 0 nhưng có tổng bằng 1. Chứng minh rằng $a = b$ .

R. Robo.Ctvx42

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Từ x + y = 1 suy ra x 2 + y 2 + 2 x y = 1 do đó x 2 + y 2 = 1 − 2 x y . Từ đó có: ab ( x 2 + y 2 ) + x y ( a 2 + b 2 ) = ab ab ( 1 − 2 x y ) + x y ( a 2 + b 2 ) = ab ; ab ( 1 − 2 x y ) + x y ( a 2 + b 2 ) − ab = 0 ; ab − 2 ab x y + x y ( a 2 + b 2 ) − ab = 0 ; − 2 ab x y + x y ( a 2 + b 2 ) = 0 ; x y ( a 2 + b 2 − 2 ab ) = 0 ; x y ( a − b ) 2 = 0 . Do x  = 0 ; y  = 0 nên a − b = 0 ha y a = b . Đó là điều phải chứng minh.

Từ $x + y = 1$ suy ra $x^{2} + y^{2} + 2 x y = 1$ do đó $x^{2} + y^{2} = 1 - 2 x y$ . Từ đó có:

$ab (x^{2} + y^{2}) + x y (a^{2} + b^{2}) = ab ab (1 - 2 x y) + x y (a^{2} + b^{2}) = ab; ab (1 - 2 x y) + x y (a^{2} + b^{2}) - ab = 0; ab - 2 ab x y + x y (a^{2} + b^{2}) - ab = 0; - 2 ab x y + x y (a^{2} + b^{2}) = 0; x y (a^{2} + b^{2} - 2 ab) = 0;$