Cho n ∈ N thỏa mãn C n 1 ​ + C n 2 ​ + ... + C n n ​ = 1023 . Tìm hệ số của x 2 trong khai triển [ ( 12 − n ) x + 1 ] n thành đa thức.

Giải thích

Từ khai triển ( 1 + x ) n = C n 0 ​ + C n 1 ​ x + C n 2 ​ x 2 + ... + C n n ​ x n . Cho x = 1 ta được ( 1 + 1 ) n = C n 0 ​ + C n 1 ​ + C n 2 ​ + ... + C n 2 ​ = 1 + C n 1 ​ + C n 2 ​ + ... + C n n ​ Mà C n 1 ​ + C n 2 ​ + ... + C n n ​ = 1023 n e ^ n 2 n = 1024 ⇔ n = 10 Bài toán trở thành tìm hệ số của x 2 trong khai triển ( 2 x + 1 ) 10 thành đa thức Số hạng tổng quát trong khai triển ( 2 x + 1 ) 10 là C 10 k ​ ( 2 x ) k = C 10 k ​ 2 k x k Từ yêu cầu bài toán suy ra k = 2 Vậy hệ số của x 2 trong hệ khai triển ( 2 x + 1 ) 10 thành đa thức là C 10 2 ​ 2 2 = 180 .