Câu hỏi

Cho tam giác nhọn A BC ( A B < A C ) nội tiếp đường tròn (O), Mlà trung điểm BC ; BE, CFlà các đường cao ( E, Flà chân các đường cao). Các tiếp tuyến với đường tròn tại Bvà Ccắt nhau tại S. Gọi N, Plần lượt là giao điểm của BSvới EF, ASvới ( O ) ( P  = A ) . Chứng minh rằng:AB . CP=AC . BP

Cho tam giác nhọn $A BC (A B < A C)$ nội tiếp đường tròn (O), M là trung điểm BC ; BE, CF là các đường cao ( E, F là chân các đường cao). Các tiếp tuyến với đường tròn tại B và C cắt nhau tại S. Gọi N, P lần lượt là giao điểm của BS với EF, AS với $(O) (P \neq = A)$ . Chứng minh rằng: AB . CP=AC . BP

N. Huỳnh

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Xét △ SBP và △ S A B có: S chung; SBP = S A B (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn BP ⌢ ); ⇒ △ SBP ∽ △ S A B ( g ⋅ g ) ⇒ A B BP = S A SB ( 1 ) Xét △ SCP và △ S A C có: S chung; SCP = S A C (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn CP ⌢ ); ⇒ Δ SCP ∼ △ S A C ( g . g ) ⇒ A C CP = S A SC ( 2 ) ; Mà theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có SB=SC(3); Từ (1),(2)và (3) ta có: A B BP = A C CP ⇔ A B ⋅ CP = A C ⋅ BP .

Xét $△ SBP$ và $△ S A B$ có:
$S$ chung;
$SBP = S A B$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn $BP ⌢$ ); $\Rightarrow △ SBP ∽ △ S A B (g \cdot g) \Rightarrow \frac{BP}{A B} = \frac{SB}{S A} (1)$
Xét $△ SCP$ và $△ S A C$ có:
$S$ chung;
$SCP = S A C$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn $CP ⌢$ );

$\Rightarrow Δ SCP \sim △ S A C (g . g) \Rightarrow \frac{CP}{A C} = \frac{SC}{S A} (2);$
Mà theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có SB=SC (3); Từ (1),(2) và (3) ta có: $\frac{BP}{A B} = \frac{CP}{A C} \Leftrightarrow A B \cdot CP = A C \cdot BP$ .

Câu hỏi tương tự

Đặt quả bóng vào trong một hộp hình lập phương sao cho quả bóng tiếp xúc với các mặt của hình lập phương đó. Hãy tính đường kính S của quả bóng, biết thể tích hình khối lập phương V = 8000 c m 3

Xác nhận câu trả lời

Cho đường tròn ( O; R ) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho O A = R 2 .Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Lấy D thuộc AB; E thuộc AC sao cho chu vi của tam giác...

Xác nhận câu trả lời

Ba bạn An có miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng là 8m và chiều dài gấp đôi chiều rộng. Ba bạn muốn bán miếng đất với giá 10 t r i ệ u /1 m 2 và gửi toàn bộ số tiền đó vào ngân hàng theo kì hạn 1 nă...

Xác nhận câu trả lời

Tính giá trị của B = ( a + b a + b − a a ) : ( a + b a + a + b + 2 ab a ) khi a = 7 − 4 3 và b = 7 + 4 3 .

Xác nhận câu trả lời

Cho ∆ABC (AB < AC) có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi H là giao điểm của 3 đường cao AD, BE, CF của ∆ABC. a) Chứng minh: tứ giác BFEC và BFHD nội tiếp đường tròn. b) Vẽ đường kính AI của ...

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện