Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O; R) cắt nhau tại T, đường thẳng AT cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D khác A. 1, Chứng minh rằng tam giác ABT đồng dạng với tam giác BDT. 2, Chứng minh rằng: AB.CD = BD.AC 3, Chứng minh rằng hai đường phân giác góc BAC , góc BDC và đường thẳng BC đồng quy tai một điểm. 4, Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh rằng góc BAD bằng góc MAC.

Giải thích

1. Vì TB là tiếp tuyến của (O) nên BAD = DBT (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cùng BD) Xét ∆ ABT và ∆ BDT có: { A TB ( c h u n g ) D BT = B A T ( c m t ) ​ ⇒ △ A BT ∼ △ B D T ( g . g ) ​2. V ı ˋ △ A BT ∼ △ B D T ⇒ B D A B ​ = BT A T ​ = D T BT ​ ⇒ ( B D A B ​ ) 2 = BT A T ​ . D T BT ​ = D T A T ​ Chứng minh tương tự ta có: ( B D A B ​ ) 2 = BT A T ​ Do đ o ˊ ( B D A B ​ ) 2 = ( C D A C ​ ) 2 ⇒ B D A B ​ = C D A C ​ ⇒ A B . C D = B D . A C 3. Gọi I 1 , I 2 lần lượt là giao điểm của BC với tia phân giác góc BAC và góc BDC. Xét ∆ ABC có tia phân giác AI 1 , theo tính chất đường phân giác ta có: I 1 ​ C I 1 ​ B ​ = A C A B ​ Chứng minh tương tự ta có: I 2 ​ C I 2 ​ B ​ = D C D B ​ Theo câu 2) ta có AB.CD = BD.AC ⇒ A C A B ​ = D C D B ​ ⇒ I 1 ​ C I 1 ​ B ​ = I 2 ​ C I 2 ​ B ​ Mà I 1 , I 2 cùng thuộc đoạn BC nên chúng chia trong đoạn BC theo các tỉ số bằng nhau. ⇒ I 1 ≡ I 2 ⇒ Đường phân giác góc BAC, đường phân giác góc BDC và đường thẳng BC đồng quy. 4. Gọi M’ là điểm thuộc đoạn BC sao cho CAM’ = BAD . Ta chứng minh M’ ≡ M. Vì CAM’ = BAD => BAM’ = CAD Vì ABDC là tứ giác nội tiếp nên ADB = ACM’ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB) Mà CAM’ = BAD => ∆ADB ~ ∆ACM’ (g.g) ⇒ C M ′ B D ​ = A C A D ​ ⇒ B D . A C = A D . C M ′ (1) Chứng minh tương tự ta có: AB.CD = AD.BM’ (2) Từ (1) và (2) với chú ý BD.AC = AB.CD => AD.CM’ = AD.BM’ => CM’ = BM’ ⇒ M’ ≡ M => BAD = MAC