Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A. Đường cao AH, dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABMN, ACIK.Chứng minh rằng: a) Ba điểm M, A, Ithẳng hàng; b) Tứ giác CKNB là hình thang cân; c) AH đi qua trung điểm D của NK và các đường thẳng AH, IK, MN cắt nhau tại điểm E; d) Các đường thẳng AH, CM ,BI đồng quy và A N 2 = N K 2 − A K 2

Giải thích

a) Ba điểm M , A, Ithẳng hàng; Theo giả thiết: B A C = 9 0 ∘ mà B A N = C A K = 9 0 ∘ Nên B A N , C A K là hai góc đối đỉnh Do AM, AI là đường chéo hình vuông ABMN, ACIK Suy ra AM, AIlà tia phân giác của B A N , C A K Ta có: M A I = M A N + N A K + K A I = 4 5 ∘ + 9 0 ∘ + 4 5 ∘ = 18 0 ∘ Vậy ba điểm M , A, Ithẳng hàng. b) Tứ giác CKNB là hình thang cân; Xét hình vuông ABMN có AM, BN là hai đường chéo nên AM⊥ BN (1) Tương tự: AI⊥CK (2) Mà M, A, Ithẳng hàng (3) Từ (1); (2); (3) suy ra BN // CK ⇒BCKN là hình thang (*) Mặt khác: BK=BA+AK=AN+AC=CN(cạnh hình vuông ABMN, ACIK ) (**) Từ (*); (**) suy ra tứ giác BCKN là hình thang cân. c)Gọi H’ là giao điểm của DA và BC. △ A BC = △ A N K ( c − g − c ) ⇒ C = K (4) Lại có ∆ADK cân tại D: K = D A K (5) Mặt khác D A K = B A H ′ (6) Từ (4); (5); (6) suy ra C = B A H ′ Lại có C = B A H Do đó B A H ′ = B A H ⇒ A H ≡ A H ′ hay AH đi qua trung điểm D của NK. d) Các đường thẳng AH, CM, BIđồng quy và A N 2 = N K 2 − A K 2 △ A BC = △ K E A ⇒ BC = A E Lại có MBC = 9 0 ∘ + B , E A B = 9 0 ∘ + B (góc ngoài tại dỉnh A của tam giác ABH) ⇒ MBC = E A B Xét ∆MBC và ∆BAE có: BM= BA (cạnh hình vuông) MBC = E A B (cmt) BC = AE (cmt) Suy ra △ MBC = △ B A E ( c − g − c ) ⇒ BMC = A BE Mà A BE + EBM = 9 0 ∘ ⇒ BMC + EBM = 9 0 ∘ ⇒ MC ⊥ EB Chứng minh tương tự: BI⊥ EC Xét ∆EBC có EH, BI, CM là các đường cao nên cắt nhau tại một điểm. Các đường thẳng AH, CM, BI đồng quy. + Xét ∆ANK vuông tại A, theo định lý Pytago ta có: N K 2 = A N 2 + A K 2 ⇒ A N 2 = N K 2 − A K 2