Cho tam giác ABC vuông ở A . Lấy điểm M nằm trên cạnh BC, hạ MD và ME lần lượt vuông góc với AB và AC ( D∈ AB, E ∈ AC). Lấy điểm I đối xứng với D qua A , K đối xứng với E qua M . a) Chứng minh rằng tứ giác DIEK là hình bình hành. b) Chứng minh ba đường thẳng IK , DE , AM giao nhau tại một điểm. c) Tìm vị trí của M trên BC để tứ giác ADME là hình vuông. d) Khi M là chân đường cao hạ từ A xuống BC, gọi J là trung điểm của cạnh BC . Chứng minh rằng: AJ ⊥ DE.

Giải thích

a) Ta có: ⎩ ⎨ ⎧ ​ M D ⊥ A B ME ⊥ A C A = 9 0 ∘ ( g t ) ​ ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ ​ M D A = 9 0 ∘ ME A = 9 0 ∘ A = 9 0 ∘ ( g t ) ​ ⇒ tg AEMDlà hình chữ nhật. ⇒ { ME = D A ME // D A ​ (1) . Mặt khác { D I = 2 D A ( g t ) E K = 2 ME ( g t ) ​ (2). Từ (1);(2) ta suy ra { D I = E K D I // E K ​ . Nên tứ giác DIEK là hình bình hành. b) Giả sử: { D E ∩ A M = H D E ∩ I K = H ′ ​ Do tứ giác AEMD là hình chữ nhật ⇒ H là trung điểm của DE . Mặt khác tứ giác DIEK là hình bình hành nên H′là trung điểm của DE ⇒ H ≡ H′ . Vậy AM, DE, IKđồng quy tại H . c) Để tứ giác ADME là hình vuông thì AD = MD hay ∆ADM vuông cân tại D ⇔ D A M = 4 5 ∘ ⇒ AMlà tia phân giác của A . d) Ta có: AM ⊥ BC(gt) ⇒ B A M + B = 9 0 ∘ . Mặt khác ∆ABC vuông tại A nên B + C = 9 0 ∘ ⇒ B A M = C (3) Do AJ là trung tuyến ứng với cạnh BC nên A J = J C = J B = 2 BC ​ ⇒ △ A J C cân tại J ⇒ J A C = C (4). Từ (3),(4) ⇒ B A M = J A C (5). Do tứ giác ADME là hình chữ nhật ⇒ △ A D M = △ EM D ( c . c . c ) ⇒ D A M = ME D hay B A M = ME D . Mặt khác ME D + A E D = 9 0 ∘ ⇒ D A M + A E D = 9 0 ∘ hay B A M + A E D = 9 0 ∘ (6). Từ (5),(6) ⇒ J A C + A E D = 9 0 ∘ . Gọi O = DE ∩ AJ . Trong ∆AIE ta có : A OE = 18 0 ∘ − O A E − OE A = 18 0 ∘ − ( J A C + A E D ) = 9 0 ∘ hay A J ⊥ D E