Cho tam giác ABC nhọn ( AB >AC) có góc B bằng 45 o và vẽ đường cao AH . Gọi M là trung điểm AB . P là điểm đối xứng với H qua M . a) Chứng minh AHBP là hình vuông. b) Vẽ đường cao BK của tam giác ABC . Chứng minh HP = 2 MK. c) Gọi D là giao điểm AH và BK . Qua D và C vẽ các đường thẳng lần lượt song song với BC và AH sao cho chúng cắt nhau tại Q . Chứng minh P, K, Q thẳng hàng. d) Chứng minh các đường thẳng CD, ABvà PQ đồng quy

Giải thích

a) Vì M là trung điểm của AB và PH nên tứ giác AHBP là hình bình hành. Do AH⊥BH nên AHBP là hình chữ nhật Vì góc A B H = 45 o nên △ AHB vuông cân tại H Vậy AHBP là hình vuông . b) Vẽ đường cao BK của tam giác ABC . Chứng minh HP= 2MK . Sử dụng tính chất đường trung tuyến tam giác vuông △ ABK suy ra AB= 2MK Dùng kết quả câu a suy ra HP=AB do đó HP= 2MK c) Gọi D là giao điểm AH và BK . Qua D và C vẽ các đường thẳng lần lượt song song với BC và AH sao cho chúng cắt nhau tại Q . Chứng minh P, K, Qthẳng hàng. Từ HP=2MK ⇒ P KH = 9 0 ∘ Chứng minh tương tự: Q KH ​ = 9 0 ∘ Kết hợp để suy ra P K Q ​ = 18 0 ∘ hay P, K, Q thẳng hàng. d) Chứng minh các đường thẳng CD, AB và PQ đồng quy. Gọi E là giao điểm của PQ và AB ; F trung điểm BC Ta có: ME/ / HQ ( cùng vuông góc với PH ) mà M trung điểm PH nên ME là đường trung bình của tam giác PHQ suy ra E trung điểm của PQ ⇒ EF là đường trung bình của hình thang PBCQ ⇒ EF = 2 1 ​ ( PB + CQ ) = 2 1 ​ ( B H + H C ) = 2 1 ​ BC ⇒ △ EBC vuông tại E suy ra BEC = 9 0 ∘ Mặt khác ta có: CD ⊥ AB do D là trực tâm tam giác ABC Như vậy { C D ⊥ A B CE ⊥ A B ​ ⇒ E D, C thẳng hàng Kết luận: CD, AB và PQ đồng quy