Cho tam giác ABC. Một đường tròn bất kì qua B, C cắt AC, AB lần lượt tại E, F. BE cắt CF tại P. Một đường thẳng d bất kì qua A cắt BE, CF lần lượt tại L, K. Đường thẳng d' đẳng giác với d trong góc BAC cắt BE, CF lần lượt tại M, N. MK cắt LN tại X, MK, LN cắt BC lần lượt tại Z, Y. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp hai tam giác BPC và XYZ tiếp xúc nhau.

Giải thích

Gọi T là giao điểm khác P của (MXL) và (NXK). Khi đó T là tâm vị tự quay của hai đoạn thẳng LM và NK. Do B, C, E, F đồng viên nên △ A EB ∼ △ A FC . Lại có hai đường thẳng d và d' đẳng giác trong ∠ B A C nên MB L M ​ = K C N K ​ Suy ra T là tâm vị tự quay của hai đoạn thẳng LB và NC. Ta thu được T là giao của hai đường tròn (BPC) và (LPN). Suy ra T là điểm Miquel của tứ giác toàn phần BPNY.LC. Suy ra T ∈ ( N Y C ) Từ đó T đồng thời là điểm Miquel của tứ giác toàn phần YNKZ.XC. Suy ra T ∈ (XYZ). Do đó, ta chỉ cần chứng minh TY, TZ đẳng giác trong ∠ BTC . Vì d và d' đẳng giác trong ∠ B A C nên ∠ A L E = ∠ A NF , suy ra tứ giác MNKL nội tiếp. Suy ra: Ta có điều phải chứng minh