Câu hỏi

Cho tam giác ABC . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = S b c . cos A + a c . cos B + ab . cos C bằng

Cho tam giác ABC . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$Q = \frac{b c . cos A + a c . cos B + ab . cos C}{S}$ bằng

$3$
$43$
$\frac{1}{2}$
$23$

R. Roboctvx71

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Áp dụng định lý cosin, ta có Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương p − a , p − b , p − c Suy ra Mà Từ (1) và (2) ta có Vậy min Q = 2 3 khi a = b = c

Áp dụng định lý cosin, ta có

$b c. cos invisible function application A plus a c. cos invisible function application B plus a b. cos invisible function application C equals fraction numerator b squared plus c squared minus a squared over denominator 2 end fraction plus fraction numerator a squared plus c squared minus b squared over denominator 2 end fraction plus fraction numerator a squared plus b squared minus c squared over denominator 2 end fraction equals 1 half open parentheses a squared plus b squared plus c squared close parentheses left parenthesis 1 right parenthesis$

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương $p - a, p - b, p - c$

$left parenthesis p minus a right parenthesis times left parenthesis p minus b right parenthesis times left parenthesis p minus c right parenthesis less or equal than open square brackets fraction numerator 3 p minus left parenthesis a plus b plus c right parenthesis over denominator 3 end fraction close square brackets cubed equals open parentheses fraction numerator 3 p minus 2 p over denominator 3 end fraction close parentheses cubed equals open parentheses p over 3 close parentheses cubed$

Suy ra $S equals square root of p left parenthesis p minus a right parenthesis left parenthesis p minus b right parenthesis left parenthesis p minus c right parenthesis end root less or equal than square root of p open parentheses p over 3 close parentheses cubed end root equals fraction numerator p squared over denominator 3 square root of 3 end fraction$

Mà $p equals fraction numerator a plus b plus c over denominator 2 end fraction rightwards double arrow p squared equals fraction numerator left parenthesis a plus b plus c right parenthesis squared over denominator 4 end fraction less or equal than fraction numerator 3 open parentheses a squared plus b squared plus c squared close parentheses over denominator 4 end fraction$

$rightwards double arrow S less or equal than fraction numerator 3 open parentheses a squared plus b squared plus c squared close parentheses over denominator 4.3 square root of 3 end fraction equals fraction numerator a squared plus b squared plus c squared over denominator 4 square root of 3 end fraction left parenthesis 2 right parenthesis$

Từ (1) và (2) ta có

$Q equals fraction numerator b c. cos invisible function application A plus a c. cos invisible function application B plus a b. cos invisible function application C over denominator S end fraction equals fraction numerator 1 half open parentheses a squared plus b squared plus c squared close parentheses over denominator S end fraction greater or equal than fraction numerator 1 half open parentheses a squared plus b squared plus c squared close parentheses over denominator fraction numerator a squared plus b squared plus c squared over denominator 4 square root of 3 end fraction end fraction equals 2 square root of 3.$

Vậy $min Q = 23 khi a = b = c$

Câu hỏi tương tự

Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1. Chứng minh rằng:

Xác nhận câu trả lời

Cho các số a , b , c > 0 và thỏa mãn a + b + c = 3 . Chứng minh: a 2 + b 2 a 3 + b 2 + c 2 b 3 + c 2 + a 2 c 3 ≥ 2 3

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

Xác nhận câu trả lời

Nêu các tính chất của bất đẳng thức. Áp dụng một trong các tính chất đó, hãy so sánh 2 3000 và 3 2000 .

Xác nhận câu trả lời

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: a + 2 b b + b + 2 c c + c + 2 a a ≤ 1

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện

Cho tam giác ABC . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = S b c . cos A + a c . cos B + ab . cos C ​ bằng

Giải thích

Áp dụng định lý cosin, ta có Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương p − a , p − b , p − c Suy ra Mà Từ (1) và (2) ta có Vậy min Q = 2 3 ​ khi a = b = c

Câu hỏi tương tự

Cho tam giác ABC . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = S b c . cos A + a c . cos B + ab . cos C bằng

Áp dụng định lý cosin, ta có Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương p − a , p − b , p − c Suy ra Mà Từ (1) và (2) ta có Vậy min Q = 2 3 khi a = b = c