Câu hỏi
Cho n ∈ Z + . Tính d = g c d ( ( 2 n 1 ) , ( 2 n 3 ) , ... , ( 2 n 2 n − 1 ) )
Cho . Tính
VN
V. Ngân
Giáo viên
Xác nhận câu trả lời
Giải thích
Rõ ràng d ∣ ( 2 n 2 i + 1 ) , ∀ i nên một cách tự nhiên ta sec cố gắng tìm một biểu thứ có thể tính cụ thể mà tận dụng được quan sát trên mà dễ được nghĩ đến nhất sẽ là tổng tất cả các phần tử, hoặc là hiệu 2 phần tử nào đó. Trong bài toán này thì tính tổng tất cả các phần tử thì sẽ được Mà d ∣ i = 0 ∑ n − 1 ( 2 n 2 i + 1 ) , nên d = 2 m v ớ i m ∈ Z . Giờ ta chỉ cần tìm m lớn nhất sao cho 2 m ∣ ( 2 n 2 i + 1 ) . Do 2 m ∣ ( 2 n 1 ) , nên 2 m ∣ 2 n nên m ≤ u p ( n ) + 1 . Việc còn lại là chỉ ra rằng m = u p ( n ) + 1 thỏa mãn. Thật vậy, do 2 m ∣ 2 n và 2 i + 1 là số lẻ. Vậy nên ta được d = 2 v p ( n ) + 1 .
Rõ ràng nên một cách tự nhiên ta sec cố gắng tìm một biểu thứ có thể tính cụ thể mà tận dụng được quan sát trên mà dễ được nghĩ đến nhất sẽ là tổng tất cả các phần tử, hoặc là hiệu 2 phần tử nào đó. Trong bài toán này thì tính tổng tất cả các phần tử thì sẽ được
Mà , nên . Giờ ta chỉ cần tìm m lớn nhất sao cho . Do , nên nên . Việc còn lại là chỉ ra rằng thỏa mãn. Thật vậy,
do và là số lẻ. Vậy nên ta được .
1
Câu hỏi tương tự
TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG
