Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tìm tập hợp các điểm M của không gian sao cho M A 2 + M B 2 + M C 2 + M D 2 = k 2 với k là một hằng số dương.

Giải thích

Gọi G là trọng tâm của tứ diện đều ABCD, ta có: M A = MG + G A ⇒ M A 2 = M A 2 = MG 2 + G A 2 + 2 M A . G A (1) tương tự: M B 2 = MB 2 = MG 2 + GB 2 + 2 MG . GB (2) M C 2 = MC 2 = MG 2 + GC 2 + 2 MG . GC (3) M D 2 = M D 2 = MG 2 + G D 2 + 2 MG . G D (4) Cộng (1), (2), (3), (4) và để ý rằng G A 2 = G A 2 = GB 2 = GC 2 = GC 2 = G D 2 . ta được M A 2 + M B 2 + M C 2 + M D 2 = 4 M G 2 + 4 G A 2 + MG . ( M A + MB + MC + M D ) ⇔ M A 2 + M B 2 + M C 2 + M D 2 = 4 M G 2 + 4 G A 2 , v ı ˋ M A + MB + MC + M D = 0 Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD, trọng tâm G của tứ diện ABCD là trung điểm của IJ. Do ABCD là tứ diện đều nên ta dễ dàng chứng minh được IJ là đường vuông góc chung của AB, CD. Từ tam giác AIJ vuông tại I: I J 2 = A J 2 − A I 2 = ( 2 a 3 ​ ​ ) 2 − ( 2 a ​ ) 2 = 2 a 2 ​ Từ tam giác AIG vuông tại I: G A 2 = A I 2 − G I 2 = A I 2 + 4 I J 2 ​ = 4 a 2 ​ + 8 a 2 ​ = 8 3 a 2 ​ ⇒ M A 2 + M B 2 + M C 2 + M D 2 = 4 M G 2 + 2 3 a 2 ​ do đó M A 2 + M B 2 + M C 2 + M D 2 = k 2 khi và chỉ khi: 4 M G 2 + 2 3 a 2 ​ = k 2 ⇔ M G 2 = 8 2 k 2 − 3 a 2 ​ Nếu k 2 < 2 3 a 2 ​ , t h ı ˋ M G 2 < 0 , tập hợp các điểm M là ∅ Nếu k 2 = 2 3 a 2 ​ , t h ı ˋ MG = 0 ,tập hợp các điểm M là (G). Nếu k 2 > 2 3 a 2 ​ , t h ı ˋ MG = 4 2 ( 2 k 2 − 3 a 2 ) ​ ​ ,tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm G với bán kính R = 4 2 ( 2 k 2 − 3 a 2 ) ​ ​