Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Lấy N, M là trung điểm của AB và AC . Tính khoảng cách d giữa CN và DM .

Giải thích

Chon D Gọi P là trung điểm của AN ⇒ MP ∥ CN , MP ⊂ ( D MP ) ⇒ CN ∥ ( D MP ) ⇒ d ( CN , D M ) = d ( CN , ( D MP ) ) = d ( N , ( D MP ) ) = d ( A , ( D MP ) ) Ta có ABCD là tứ diện đều cạnh a ⇒ V A BC D ​ = 12 a 3 2 ​ ​ Ta có: V A . D BC ​ V A . D MP ​ ​ = A B A P ​ ⋅ A C A M ​ = 8 1 ​ ⇒ V A . D MP ​ ≡ 8 1 ​ V A . D BC ​ = 96 a 3 2 ​ ​ Tam giác ACD đều cạnh a , có M là trung điểm của AC ⇒ D M = 2 a 3 ​ ​ Tam giác ABC đều cạnh a , có N là trung điểm của AB ⇒ CN = 2 a 3 ​ ​ ⇒ MP = 2 1 ​ CN = 4 a 3 ​ ​ Tam giác ADP , có AP = 4 a ​ ; A D = a ; P A D = 6 0 ∘ ⇒ D P = A D 2 + A P 2 − 2 A D ⋅ A P ⋅ cos ( P A D ) ​ = 4 a 13 ​ ​ Đặt p = 2 D M + D P + MP ​ = 8 a ( 13 ​ + 3 3 ​ ) ​ ⇒ S △ D MP ​ = p ( p − D M ) ( p − D P ) ( p − MP ) ​ = 32 a 2 35 ​ ​ Lại có V A . D MP ​ = 3 1 ​ S △ D MP ​ ⋅ d ( A , ( D MP ) ) ⇒ d ( A , ( D MP ) ) = S △ D MP ​ 3 V A . D MP ​ ​ = 32 a 2 35 ​ ​ 3 ⋅ 96 a 3 2 ​ ​ ​ = 35 a 70 ​ ​ Vậy d ( CN , D M ) = 35 a 70 ​ ​