Câu hỏi

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M,N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD, ABC và là điểm đối xứng với B qua D . Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích là V . Tính V .

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M,N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD, ABC và là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích là V. Tính V.

$V = \frac{3 2 a ^{3}}{320}$
$V = \frac{9 2 a ^{3}}{320}$
$V = \frac{a ^{3} 2}{96}$
$V = \frac{3 2 a ^{3}}{80}$

E. Elsa

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Chọn B Xét mặt phẳng chứa tam giác ABD . Gọi D' trên IE sao cho D D ′ // A Q ta có: MQ D D ′ = EQ E D = 3 2 Mà △ KD D ′ ∼ △ K A M ⇒ K A KD = A M D D ′ = 2 MQ D D ′ = 3 1 Gọi M' trên BD sao cho M M ′ // A B . Ta có: M ′ Q = 3 1 BQ = 3 1 . 4 1 BE = 12 1 BE ⇒ E M ′ = 3 EQ + Q M ′ = ( 4 3 + 12 1 ) BE = 6 5 BE ⇒ I B M M ′ = EB E M ′ = 6 5 ⇒ M M ′ = 6 5 I B Xét mặt tam giác ABQ . Ta có: A B M M ′ = Q A QM = 3 1 ⇒ 6 5 A B I B = 3 1 ⇒ A B I B = 5 2 ⇒ A B A I = 5 3 Vì MN // PQ // C D ⇒ MN // ( A C D ) ⇒ MN // J K // C D ⇒ A C A J = A D A K = 4 3 Vì ABCD là tứ diện đều có cạnh bằng a ⇒ V A BC D = 12 a 3 2 Ta lại có: V A BC D V A I J K = A B A I . A C A J . A D A K = 5 3 . 4 3 . 4 3 = 80 27 ⇒ V A I J K = 80 27 V A BC D = 80 27 12 a 3 2 = 320 9 2 a 3

Chọn B

Xét mặt phẳng chứa tam giác ABD. Gọi D' trên IE sao cho $D D^{'} // A Q$ ta có: $\frac{D D ^{'}}{MQ} = \frac{E D}{EQ} = \frac{2}{3}$

Mà $△ KD D^{'} \sim △ K A M$

$\Rightarrow \frac{KD}{K A} = \frac{D D ^{'}}{A M} = \frac{D D ^{'}}{2 MQ} = \frac{1}{3}$

Gọi M' trên BD sao cho $M M^{'} // A B$ . Ta có:

$M^{'} Q = \frac{1}{3} BQ = \frac{1}{3} . \frac{1}{4} BE = \frac{1}{12} BE \Rightarrow E M^{'} = 3 EQ + Q M^{'} = (\frac{3}{4} + \frac{1}{12}) BE = \frac{5}{6} BE \Rightarrow \frac{M M ^{'}}{I B} = \frac{E M ^{'}}{EB} = \frac{5}{6} \Rightarrow M M^{'} = \frac{5}{6} I B$

Xét mặt tam giác ABQ. Ta có: $\frac{M M ^{'}}{A B} = \frac{QM}{Q A} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{5}{6} \frac{I B}{A B} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{I B}{A B} = \frac{2}{5} \Rightarrow \frac{A I}{A B} = \frac{3}{5}$

Vì $MN // PQ // C D \Rightarrow MN // (A C D)$

$\Rightarrow MN // J K // C D \Rightarrow \frac{A J}{A C} = \frac{A K}{A D} = \frac{3}{4}$

Vì ABCD là tứ diện đều có cạnh bằng a $\Rightarrow V_{A BC D} = \frac{a ^{3} 2}{12}$

Ta lại có: $\frac{V _{A I J K}}{V _{A BC D}} = \frac{A I}{A B} . \frac{A J}{A C} . \frac{A K}{A D} = \frac{3}{5} . \frac{3}{4} . \frac{3}{4} = \frac{27}{80}$

$\Rightarrow V_{A I J K} = \frac{27}{80} V_{A BC D} = \frac{27}{80} \frac{a ^{3} 2}{12} = \frac{9 2 a ^{3}}{320}$

Câu hỏi tương tự

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có A B = a 3 , AD = AA' = a, O là giao điểm của AC và BD. Thể tích khối chóp OA'B'C'D' là x, thể tích khối chóp OBB'C' là y. Giá trị x + y là:

Xác nhận câu trả lời

Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bằng a và cạnh bên tạo vói đáy một góc 6 0 ∘ . Thể tích của khối chóp đó bằng

Xác nhận câu trả lời

Cho đa giác đều 4n đỉnh, chọn ngẫu nhiên bốn đỉnh từ các đỉnh của đa giác đã cho. Biết rằng xác suất bốn đỉnh được chọn là bốn đỉnh của một hình chữ nhật bằng 35 3 . Khi đó n bằng?

Xác nhận câu trả lời

Cho là các số thực dương thay đổi. Xét hình chóp có , các cạnh còn lại đều bằng 1. Khi thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất thì tích bằng

Xác nhận câu trả lời

Cho hình thang ABCD ( AB ∥ CD ) , biết AB = 5, BC = 3, CD = 10, AD = 4. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang ABCD quanh trục AD bằng

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG