Cho tứ diện đều ABCDcó cạnh bằng 4. Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và có chiều cao bằng chiều cao của tứ diện đều ABCD

Giải thích

Chọn D Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng CD Gọi H là trọng tâm của tam giác đều BCD. Khi đó H I = 3 2 3 ​ ​ , B H = 3 4 3 ​ ​ Gọi H là trọng tâm của tam giác đều BCD nên H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD. Và HI là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác BCD. Suy ra bán kính đường tròn đáy của hình trụ là r = H I = 3 2 3 ​ ​ Tứ diện ABCD đều nên A H ⊥ ( BC D ) = H .Suy ra AH là chiều cao của khối tứ diện. Áp dụng định lý py – ta – go vào tam giác AHB vuông tại H, ta có: A B 2 = A H 2 + B H 2 ⇔ A H 2 = A B 2 − B H 2 = 4 2 − ( 3 4 3 ​ ​ ) 2 = 3 32 ​ ⇔ A H = 3 4 6 ​ ​ Vậy chiều cao của hình trụ là h = A H = 3 4 6 ​ ​ . Suy ra độ dài đường sinh của hình trụ là l = 3 4 6 ​ ​ . Diện tích xung quang của hình trụ là: S x q ​ = 2 π rl = 2 π ⋅ 3 2 3 ​ ​ ⋅ 3 4 6 ​ ​ = 3 16 2 ​ ​ π