Cho tứ diện đều ABCDcó cạnh bằng 4. Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và có chiều cao bằng chiều cao của tứ diện đều ABCD
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4. Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và có chiều cao bằng chiều cao của tứ diện đều ABCD
Sxq=83π
Sxq=82π
Sxq=3163π
Sxq=3162π
EE
E. Elsa
Giáo viên
Xác nhận câu trả lời
Giải thích
Chọn D
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng CD
Gọi H là trọng tâm của tam giác đều BCD. Khi đó H I = 3 2 3 , B H = 3 4 3
Gọi H là trọng tâm của tam giác đều BCD nên H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD. Và HI là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác BCD. Suy ra bán kính đường tròn đáy của hình trụ là r = H I = 3 2 3
Tứ diện ABCD đều nên A H ⊥ ( BC D ) = H .Suy ra AH là chiều cao của khối tứ diện. Áp dụng định lý py – ta – go vào tam giác AHB vuông tại H, ta có:
A B 2 = A H 2 + B H 2 ⇔ A H 2 = A B 2 − B H 2 = 4 2 − ( 3 4 3 ) 2 = 3 32 ⇔ A H = 3 4 6
Vậy chiều cao của hình trụ là h = A H = 3 4 6 . Suy ra độ dài đường sinh của hình trụ là l = 3 4 6 .
Diện tích xung quang của hình trụ là: S x q = 2 π rl = 2 π ⋅ 3 2 3 ⋅ 3 4 6 = 3 16 2 π
Chọn D
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng CD
Gọi H là trọng tâm của tam giác đều BCD. Khi đó HI=323,BH=343
Gọi H là trọng tâm của tam giác đều BCD nên H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD. Và HI là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác BCD. Suy ra bán kính đường tròn đáy của hình trụ là r=HI=323
Tứ diện ABCD đều nên AH⊥(BCD)=H. Suy ra AH là chiều cao của khối tứ diện. Áp dụng định lý py – ta – go vào tam giác AHB vuông tại H, ta có:
AB2=AH2+BH2⇔AH2=AB2−BH2=42−(343)2=332⇔AH=346
Vậy chiều cao của hình trụ là h=AH=346. Suy ra độ dài đường sinh của hình trụ là l=346.
Diện tích xung quang của hình trụ là: Sxq=2πrl=2π⋅323⋅346=3162π