Cho tứ diện ABCD với AB = CD = a; AC = BD = b; AD = BD = c a. CMR chiều cao h kẻ từ mỗi đỉnh đến mặt đối diện được định bởi: h 2 1 ​ = 2 1 ​ ( a 2 + b 2 − c 2 1 ​ + b 2 + c 2 − a 2 1 ​ + c 2 + a 2 − b 2 1 ​ ) b. Bên trong tứ diện ABCD lấy M bất kì. CMR tổng các khoảng cách từ M đến bốn mặt của tứ diện bằng một hằng số.

Giải thích

Giả thiết cho tứ diện ABCD với AB = CD = a,AC = BD = b; AD = BD = c a. Qua B dựng đường thẳng song song với CD. Qua Cdựng đường thẳng song song với BD. Qua Ddựng đường thẳng song song với BC. Các đường thẳng trên cắt nhau tại M, N, P. Ta có: AB = BM = BN = a ⇒ AM ⊥ AN, AN ⊥ AP, AP ⊥ AM. Như vậy AM, AN, BP vuông góc với nhau từng đôi một nếu đặt AM = x, AN = y, AP = z, ta có: ⎩ ⎨ ⎧ ​ x 2 = 2 ( a 2 + c 2 − b 2 ) y 2 = 2 ( a 2 + b 2 − c 2 ) z 2 = 2 ( b 2 + c 2 − a 2 ) ​ Nhận thấy khoảng cách h từ A đến mp(BCD) bằng với khoảng cách từ A đến mp(MNP). Ta dễ dàng chứng minh được: h 2 1 ​ = x 2 1 ​ + y 2 1 ​ + z 2 1 ​ suy ra h 2 1 ​ = 2 1 ​ ( a 2 + b 2 − c 2 1 ​ + b 2 + c 2 − a 2 1 ​ + c 2 + a 2 − b 2 1 ​ ) (*) kết quả này không thay đổi khi ta hoán vị a, b, c nên khoảng cách từ các đỉnh của tứ diện ABCD đến mặt đối của nó bằng nhau. Vậychiều cao h của tứ diện ABCDđược định bởi (*) b. Gọi h 1 , h 2 , h 3 , h 4 , là khoảng cách từ M đến các mặt (BCD), (ACD), (ADB), (ABC) và V 1 , V 2 , V 3 , V 4 lần lượt là các thể tích các khối tứ diện MBCD, MACD, MABD, MABC. Từ giả thiết suy ra tứ diện ABCD có các mặt bằng nhau, gọi S là diện tích của chúng. Ta có: V ABCD = V 1 ​ + V 2 ​ + V 3 ​ + V 4 ​ , hay 3 1 ​ S h = 3 1 ​ S h 1 ​ + 3 1 ​ S h 2 ​ + 3 1 ​ S h 3 ​ + 3 1 ​ S h 4 ​ ⇔ h = h 1 ​ + h 2 ​ + h 3 ​ + h 4 ​ Vậy tổng khoảng cách từ M đến bốn mặt của khối tứ diện bằng h là một hằng số