Câu hỏi
Cho tứ diện ABCD có AB = 6, CD = 8 và các cạnh còn lại đều bằng 74 . Mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện ABCD có bán kính bằng
Cho tứ diện ABCD có AB = 6, CD = 8 và các cạnh còn lại đều bằng . Mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện ABCD có bán kính bằng
5
7
25
R. Robo.Ctvx42
Giáo viên
Giải thích
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD Do ADC, BDC là những tam giác cân có chung đáy CD và các cạnh bên bằng nhau (vì cùng bằng 74 ) nên AF = BF. Suy ra EF ⊥ AB Tương tự, ta cũng có EF ⊥ CD. Như vậy, EF là đường trung trực của cả AB và CD. Suy ra tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thuộc đường thẳng EF. Ta có EF 2 = AF 2 - AE 2 = AD 2 - DF 2 - AE 2 = 74 - 16 - 9 = 49 nên EF = 7 Gọi R là bán kính của mặt cầu thì I E = I A 2 − E A 2 = R 2 − 9 và I F = I C 2 − C F 2 = R 2 − 16 Nếu I nằm trong tứ diện ABCD thì I thuộc đoạn EF. Khi đó IE + IF = EF hay R 2 − 9 + R 2 − 16 = 7 Dễ dàng giải được R = 5 Nếu I nằm ngoàitứ diện ABCD thì I nằm ngoàiđoạn EF Do đó R 2 − 9 − R 2 − 16 = 7 . Dễ thấy phương trình này vô nghiệm Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng 5
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD
Do ADC, BDC là những tam giác cân có chung đáy CD và các cạnh bên bằng nhau (vì cùng bằng ) nên AF = BF. Suy ra EFAB
Tương tự, ta cũng có EFCD. Như vậy, EF là đường trung trực của cả AB và CD. Suy ra tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thuộc đường thẳng EF.
Ta có EF2 = AF2 - AE2 = AD2 - DF2 - AE2 = 74 - 16 - 9 = 49 nên EF = 7
Gọi R là bán kính của mặt cầu thì
và
Nếu I nằm trong tứ diện ABCD thì I thuộc đoạn EF. Khi đó IE + IF = EF hay
Dễ dàng giải được R = 5
Nếu I nằm ngoài tứ diện ABCD thì I nằm ngoài đoạn EF
Do đó . Dễ thấy phương trình này vô nghiệm
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng 5
5
Câu hỏi tương tự
TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG
