Câu hỏi

Cho t í ch ph ân I n = ∫ 0 4 π + 3 m ux tg n x d x (n l à s ố nguy ê n d ươ ng b ắ t k ỳ) a, Tính I n khi n = 2 b, Ch ứ ng minh r ằ ng:

Cho tích phân $I_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{4}} + 3 m ux tg^{n} x d x$ (n là số nguyên dương bắt kỳ)

a, Tính $I_{n} khi n = 2$

b,Chứng minh rằng: $I subscript n greater than fraction numerator 1 over denominator n plus 2 end fraction open parentheses pi over 4 close parentheses to the power of n plus 2 end exponent$

R. Roboctvx97

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ta có I n = ∫ 0 π + 3 m u x 4 π tg n x dx (n l à s ố nguy ê n d ươ ng b ẳ l k ỳ ) a, Tính I 2 Tính J 1 : J 1 = ∫ 0 4 π + 3 m ux d ( tg x ) Đặt u = x ⇒ d u = d x Và b, chứng minh xét hàm số f ( x ) = tg x − x trong có đạo hàm f ′ ( x ) = cos 2 x 1 − 1 ≥ 0 nên hàm số ( tgx − x ) đồng biến trong Do đó tg x ≥ x ⇒ tg n x > x n ⇒ x tg n x > x x n

Ta có $I_{n} = \int_{0}^{π} + 3 m u x_{4}^{π} tg^{n} x dx$ (n là số nguyên dương bẳl kỳ)

a, Tính $I_{2}$

$I subscript 2 equals stretchy integral subscript 0 superscript pi x to the power of pi over 4 end exponent tg squared invisible function application x d x equals stretchy integral subscript 0 superscript pi x open parentheses fraction numerator 1 over denominator cos squared invisible function application x end fraction minus 1 close parentheses d x equals stretchy integral subscript 0 superscript pi over 4 end superscript x d left parenthesis tg invisible function application x right parenthesis minus stretchy integral subscript 0 superscript pi over 4 end superscript x d x equals J subscript 1 minus J subscript 2$

Tính $J_{1} : J_{1} = \int_{0}^{\frac{π}{4}} + 3 m ux d (tg x)$

Đặt $u = x \Rightarrow d u = d x$

d u equals x blank rightwards double arrow d u equals d x I subscript 1 equals open u v close vertical bar subscript 0 superscript pi minus stretchy integral subscript 0 superscript pi v d u equals open x tg invisible function application x close vertical bar subscript 0 superscript pi over 4 end superscript minus stretchy integral subscript 0 superscript pi tg invisible function application x d x

$equals open parentheses pi over 4 tg invisible function application pi over 4 minus 0 close parentheses minus stretchy integral subscript 0 superscript pi over 4 end superscript fraction numerator sin invisible function application x over denominator cos invisible function application x end fraction d x table attributes columnalign right end attributes row blank cell blank equals pi over 4 plus stretchy integral subscript 0 superscript pi over 4 end superscript fraction numerator d left parenthesis cos invisible function application x right parenthesis over denominator cos invisible function application x end fraction equals pi over 4 plus open ln invisible function application vertical line cos invisible function application x vertical line close vertical bar subscript 0 superscript pi over 4 end superscript end cell row blank cell blank equals pi over 4 plus ln invisible function application fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction equals pi over 4 minus 1 half ln invisible function application 2 end cell end table$

Và

J subscript 2 colon blank J subscript 2 equals integral subscript 0 superscript pi over 4 end superscript x d x equals open 1 half x squared close vertical bar subscript 0 superscript pi over 4 end superscript equals 1 half open square brackets open parentheses pi over 4 close parentheses squared minus 0 close square brackets equals pi squared over 32

b, chứng minh $I subscript n greater than fraction numerator 1 over denominator n plus 2 end fraction open parentheses pi over 4 close parentheses$

xét hàm số $f (x) = tg x - x$ trong open square brackets 0 comma pi over 4 close square brackets có đạo hàm

$f^{'} (x) = \frac{1}{cos ^{2} x} - 1 \geq 0$

nên hàm số $(tgx - x)$ đồng biến trong open square brackets 0 comma pi over 4 close square brackets rightwards double arrow straight f left parenthesis straight x right parenthesis greater or equal than straight f left parenthesis 0 right parenthesis equals 0

Do đó $tg x \geq x \Rightarrow tg^{n} x > x^{n}$ $\Rightarrow x tg^{n} x > x x^{n}$

$I subscript n equals stretchy integral subscript 0 superscript pi x tg to the power of n invisible function application x d x greater than stretchy integral subscript 11 superscript pi x x to the power of n d x equals open fraction numerator 1 over denominator n plus 2 end fraction x to the power of n minus 2 end exponent close vertical bar subscript 0 superscript pi 4$

$equals fraction numerator 1 over denominator n plus 2 end fraction open parentheses pi over 4 close parentheses to the power of n plus 2 end exponent rightwards double arrow d p c m$

Câu hỏi tương tự

Tính 3 16 C 16 n − 3 15 C 16 1 + 3 14 C 16 2 + ⋯ + C 16 16 = 2 16 Tính tích phân J = ∫ 0 π + 3 m u ∣ cos x ∣ sin x d x

Xác nhận câu trả lời

Tinh a , b of cho ham s б́ f ( x ) = x 2 a + x b + 2 thả mãn các điều kiện f ( 2 1 ) = − 4 ∫ 2 1 1 f ( x ) d z = 2 − 3 in 2

Xác nhận câu trả lời

Tính tích phân

Xác nhận câu trả lời

G ọ i n l à s ố nguy ê n d ươ ng b ấ t k ỳ a. T í nh tich ph â n: b, chứng minh rằng 2 1 C n 0 − 4 1 C n 1 + 6 1 C n 2 − 8 1 C n 3 + ⋯ + 2 n + 2 ( − 1 ) n C n n = 2 ( n + 1 ) ...

Xác nhận câu trả lời

a) Tim nghi ệ m c ủ a ph ươ ng tr ì nh: sin 4 x + cos 4 x = cos 2 x Thỏa mãn phương trình

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG