Câu hỏi

Cho số thức sao cho phương trình có đúng 2019 nghiệm thực. Số nghiệm của phương trình là:

Cho số thức alpha sao cho phương trình 2 to the power of x minus 2 to the power of negative x end exponent equals 2 space c o s left parenthesis alpha x right parenthesis có đúng 2019 nghiệm thực. Số nghiệm của phương trình 2 to the power of x plus 2 to the power of negative x end exponent equals 4 plus 2 space c o s left parenthesis alpha x right parenthesis là:

2019
2018
4037
4038

E. Elsa

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ta có: Thay vào phương trình (1) ta có (Vô lí), kết hợp với giả thiết ta có phương trình (1) có 2019 nghiệm thực khác 0. Với là nghiệm của phương trình (1) là nghiệm của phương trình (2). Thay vào phương trình (1) ta có: (vô lí do ) không là nghiệm của phương trình (1), điều đó đảm bảo mọi nghiệm của phương trình (2) không trùng với nghiệm của phương trình (1). Do đó phương trình (2) cũng có 2019 nghiệm. Vậy phương trình ban đầu có 2019.2 = 4038 nghiệm

Ta có:

$2 to the power of x plus 2 to the power of negative x end exponent equals 4 plus 2 space c o s left parenthesis alpha x right parenthesis left right double arrow left parenthesis 2 to the power of x over 2 end exponent minus 2 to the power of x over 2 end exponent right parenthesis squared equals 4 c o s to the power of 2 end exponent fraction numerator alpha x over denominator 2 end fraction left right double arrow left square bracket table row cell 2 to the power of x over 2 end exponent minus 2 to the power of fraction numerator negative x over denominator 2 end fraction end exponent equals 2 c o s fraction numerator alpha x over denominator 2 end fraction space left parenthesis 1 right parenthesis end cell row cell 2 to the power of x over 2 end exponent minus 2 to the power of fraction numerator negative x over denominator 2 end fraction end exponent equals negative 2 c o s fraction numerator alpha x over denominator 2 end fraction space left parenthesis 2 right parenthesis end cell end table$

Thay x equals 0 vào phương trình (1) ta có 2 to the power of 0 minus 2 to the power of 0 equals 2 c o s 0 left right double arrow 0 equals 1 (Vô lí), kết hợp với giả thiết ta có phương trình (1) có 2019 nghiệm thực khác 0.
Với x subscript 0 là nghiệm của phương trình (1)
$left right double arrow 2 to the power of x subscript 0 over 2 end exponent minus 2 to the power of negative x subscript 0 over 2 end exponent equals 2 c o s to the power of fraction numerator alpha x subscript 0 over denominator 2 end fraction end exponent left right double arrow 2 to the power of fraction numerator left parenthesis negative x subscript 0 right parenthesis over denominator 2 end fraction end exponent minus 2 to the power of fraction numerator negative left parenthesis negative x subscript 0 right parenthesis over denominator 2 end fraction end exponent equals negative 2 c o s fraction numerator alpha left parenthesis negative x subscript 0 right parenthesis over denominator 2 end fraction rightwards double arrow negative x subscript 0$

là nghiệm của phương trình (2).

Thay x equals negative x subscript 0 vào phương trình (1) ta có:

$left right double arrow 2 to the power of negative x subscript 0 over 2 end exponent minus 2 to the power of x subscript 0 over 2 end exponent equals 2 c o s fraction numerator alpha left parenthesis negative x subscript 0 right parenthesis over denominator 2 end fraction equals 2 c o s fraction numerator alpha x subscript 0 over denominator 2 end fraction equals 2 to the power of x subscript 0 over 2 end exponent minus 2 to the power of fraction numerator negative x subscript 0 over denominator 2 end fraction end exponent left right double arrow 2.2 to the power of x subscript 0 over 2 end exponent equals 2.2 to the power of fraction numerator negative x subscript 0 over denominator 2 end fraction end exponent left right double arrow 2 to the power of x subscript 0 over 2 plus 1 end exponent equals 2 to the power of fraction numerator negative x subscript 0 over denominator 2 end fraction plus 1 end exponent left right double arrow x subscript 0 over 1 plus 1 equals negative x subscript 0 over 1 plus 1 left right double arrow x subscript 0 equals 0$

(vô lí do x subscript 0 not equal to 0 )

rightwards double arrow negative x subscript 0 không là nghiệm của phương trình (1), điều đó đảm bảo mọi nghiệm của phương trình (2) không trùng với nghiệm của phương trình (1).
Do đó phương trình (2) cũng có 2019 nghiệm.
Vậy phương trình ban đầu có 2019.2 = 4038 nghiệm