Câu hỏi

Cho sốphức z thỏa mãn ∣ 2 z + 1 − 3 i ∣ = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T= ∣ z − 1 ∣ + 3 ∣ z + 1 − 2 i ∣

Cho số phức z thỏa mãn $∣ 2 z + 1 - 3 i ∣$ = $2$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T= $∣ z - 1 ∣ + 3 ∣ z + 1 - 2 i ∣$

R. Robo.Ctvx31

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Gọi M(x;y) với x, y ∈ Rlà điểm biểu diễn số phức z=x+yi Ta có: ∣ 2 z + 1 − 3 i ∣ = 2 ⇔ ∣ ∣ ( x + 2 1 ) + ( y − 2 3 ) i ∣ ∣ = 2 2 ⇔ ( x + 2 1 ) 2 + ( y − 2 3 2 ) = 2 1 =5 ⇒ là tập hợp điểm Klà đường tròn tâm (C)tâm ( − 2 1 ; 2 3 ) , bán kính R= 2 2 Mặt khác P= ∣ z + 2 ∣ 2 + ∣ z − i ∣ 2 ⇔ P= ( x + 2 ) 2 + y 2 − [ x 2 + ( y − 1 ) 2 ] =4x+2y+3 Xét T= ∣ z − 1 ∣ + 3 ∣ z + 1 − 2 i ∣ ⇔ T= ∣ ( x − 1 ) + y i ∣ + 3 ∣ ( x + 1 ) + ( y − 2 ) i ∣ ⇔ T= ( x − 1 ) 2 + y 2 + 3 ( x − 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 ⇔ T=AM+3BM đạt giá trị lớn nhất B I = ( − 2 1 ; 2 1 ) , A I = ( − 2 3 ; 2 3 ) ⇒ B, I , A thẳng hàng và AI=3BI Khi đó theo định lý Stewart ta có IB. M B 2 = A B ( M I 2 + I B . I A ) với AB= 2 2 , MI= 2 1 , IB= 2 1 , IA= 2 3 ⇒ 2 1 M A 2 + 2 3 M B 2 = 2 2 ( 2 1 ; 2 3 ) ⇔ M A 2 +3 M B 2 =8 Do đó MA+3MB=MA+ 3 ( 3 MB) ≤ ( 1 + 3 ) ( M A 2 + 3 M B 2 ) ⇔ MA+3MB ≤ 4 2 Vậy T min = 4 2

Gọi M(x;y) với x, y $\in$ R là điểm biểu diễn số phức z=x+yi

Ta có:

$∣ 2 z + 1 - 3 i ∣$ = $2$ $\Leftrightarrow$ $∣ ∣ (x + \frac{1}{2}) + (y - \frac{3}{2}) i ∣ ∣ = \frac{2}{2}$ $\Leftrightarrow$ $(x + \frac{1}{2})^{2} + (y - \frac{3 ^{2}}{2}) = \frac{1}{2}$ =5

$\Rightarrow$ là tập hợp điểm K là đường tròn tâm (C) tâm $(- \frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ , bán kính R= $\frac{2}{2}$

Mặt khác P= $∣ z + 2 ∣^{2} + ∣ z - i ∣^{2}$ $\Leftrightarrow$ P= $(x + 2)^{2} + y^{2} - [x^{2} + (y - 1)^{2}]$ =4x+2y+3

Xét T= $∣ z - 1 ∣ + 3 ∣ z + 1 - 2 i ∣$ $\Leftrightarrow$ T= $∣ (x - 1) + y i ∣ + 3 ∣ (x + 1) + (y - 2) i ∣$

$\Leftrightarrow$ T= $(x - 1)^{2} + y^{2} + 3 (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2}$ $\Leftrightarrow$ T=AM+3BM đạt giá trị lớn nhất

$B I$ = $(- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$ , $A I$ = $(- \frac{3}{2}; \frac{3}{2})$ $\Rightarrow$ B, I , A thẳng hàng và AI=3BI

Khi đó theo định lý Stewart ta có IB. $M B^{2} = A B (M I^{2} + I B . I A)$ với AB= $22$ , MI= $\frac{1}{2}$ , IB= $\frac{1}{2}$ , IA= $\frac{3}{2}$ $\Rightarrow$ $\frac{1}{2}$ $M A^{2}$ + $\frac{3}{2}$ $M B^{2}$ = $22$ $(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ $\Leftrightarrow$ $M A^{2}$ +3 $M B^{2}$ =8

Do đó MA+3MB=MA+ $3$ ( $3$ MB) $\leq (1 + 3) (M A^{2} + 3 M B^{2})$ $\Leftrightarrow$ MA+3MB $\leq 42$

Vậy $T_{min} = 42$

Câu hỏi tương tự

C h o s o ^ ˊ p h ứ c z 1 t h ỏ a m a ~ n ∣ ( 1 + i ) z + 1 − 5 i ∣ = 2 2 v a ˋ s o ^ ˊ p h ứ c z 2 t h ỏ a m a ~ n ∣ z + 1 + 2 i ∣ = ∣ z + i ∣ . T ı ˊ nh g i a ˊ t r ị nh ỏ nh a ^ ˊ t c ủ a ∣ z...

Xác nhận câu trả lời

Cho số phức z thỏa mãn ∣ z ∣ =1. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tìm Q = ∣ z − 1 ∣ + ∣ ∣ z − 2 1 + 2 3 i ∣ ∣ . Tính P = M + m.

Xác nhận câu trả lời

Cho sốphức z thỏa mãn ∣ z − 3 + 4 i ∣ = 5 . GỌi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P= ∣ z + 2 ∣ 2 + ∣ z − i ∣ 2 . Tính modun của phức hợp w=M+mi

Xác nhận câu trả lời

Gọi z là số phức sao cho P= ∣ z − 1 − i ∣ + ∣ z − 1 − 4 i ∣ + ∣ z − 2 + i ∣ đạt giá trị nhỏ nhất . Tính ∣ z ∣

Xác nhận câu trả lời

Gọi M, mn lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= ∣ z − 2 + i ∣ 2 − ∣ z + 1 − 4 i ∣ 2 , biết rằng số phức z thỏa mãn điều kiện ∣ z ( i + 1 ) + 1 + i ∣ = 2 . Tính M 2 + n 2

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG