Câu hỏi

Cho số nguyên dương n. Có n học sinh nam và n học sinh nữ xếp thành một hàng ngang, theo thứ tự tùy ý. Mỗi học sinh (trong số 2n học sinh vừa nêu) được cho một số kẹo bằng đúng số cách chọn ra hai học sinh khác giới với X và đứng ở hai phía của X. Chứng minh rằng tổng số kẹo mà tất cả 2n học sinh nhận được không vượt quá 3 1 n ( n 2 − 1 )

Cho số nguyên dương n. Có n học sinh nam và n học sinh nữ xếp thành một hàng ngang, theo thứ tự tùy ý. Mỗi học sinh (trong số 2n học sinh vừa nêu) được cho một số kẹo bằng đúng số cách chọn ra hai học sinh khác giới với X và đứng ở hai phía của X. Chứng minh rằng tổng số kẹo mà tất cả 2n học sinh nhận được không vượt quá $\frac{1}{3} n (n^{2} - 1)$

R. Robo.Ctvx8

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Gọi a 1 , a 2 , ... , a n v a ˋ b 1 , b 2 , ... , b n là vị trí của n nam và n nữ trên hàng. Xét nam tại vị trí a i , ta thấy bên trái anh ta có a i − 1 vị trí, trong đó có i − 1 vị trí là nam, vậy nên bên trái anh ta có a i − i nữ. Tương tự, bên phải anh ta có n − ( a i − i ) nữ. Vậy nam tại a i được cho ( a i − i ) [ n − ( a i − i ) ] kẹo. Tương tự, nữ tại vị trí b i được cho ( b i − i ) [ n − ( b i − i ) ] kẹo. Như vậy tổng số kẹo được cho bằng S = i = 1 ∑ n { ( a i − i ) ( n − ( a i − i ) ) + ( b i − i ) ( n − ( b i − i ) ) } = i = 1 ∑ n { n ( a i + b i ) − ( a i 2 + b i 2 ) − 2 ni − 2 i 2 + 2 i ( a i + b i ) } Chú ý là { a 1 , ... , a n , b 1 , ... , b n } = { 1 , 2 , ... , 2 n } nên ta có: i = 1 ∑ n ( a i 2 + b i 2 ) = i = 1 ∑ i 2 2 n = 6 2 n ( 2 n + 1 ) ( 4 n + 1 ) , i = 1 ∑ n ( a i + b i ) = i = 1 ∑ i 2 n = 2 2 n ( 2 n + 1 ) Ngoài ra i = 1 ∑ i 2 n = 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) , i = 1 ∑ i n = 2 n ( n + 1 ) Thay vào biểu thức tính S, ta tìm được S = i = 1 ∑ n 2 i ( a i + b i ) − 3 n ( 7 n 2 + 9 n + 2 ) Từ đó, ta đưa bài toán ban đầu về việc chứng minh bất đẳng thức: T = i = 1 ∑ n i ( a i + b i ) ≤ 6 n ( n + 1 ) ( 8 n + 1 ) Ta có a n + b n ≤ 2 n + 2 n − 1 = 4 n − 1 a n + b n + a n − 1 + b n − 1 ≤ 4 n − 1 + 4 n − 5 ......................................... a n + b n + a n − 1 + b n − 1 + ... + a 1 + b 1 ≤ 4 n − 1 + 4 n − 5 + ... + 3 Áp dụng công thức khai triển tổng Abel, ta có T = i = 1 ∑ n i ( a i + b i ) = a n + b n + ( a n + b n + a n − 1 + b n − 1 ) + ... + ( a n + b n + a n − 1 + b n − 1 + ... + a 1 + b 1 ) ≤ 4 n − 1 + ( 4 n − 1 + 4 n − 5 ) + ... + ( 4 n − 1 + 4 n − 5 + .. + 3 ) = i = 1 ∑ n i ( 4 i − 1 ) = 6 n ( n + 1 ) ( 8 n + 1 ) Vậy bài toán được chứng minh.

Gọi $a_{1}, a_{2}, ..., a_{n} v \overset{a}{ˋ} b_{1}, b_{2}, ..., b_{n}$ là vị trí của n nam và n nữ trên hàng.
Xét nam tại vị trí $a_{i}$ , ta thấy bên trái anh ta có $a_{i} - 1$ vị trí, trong đó có $i - 1$ vị trí là nam, vậy nên bên trái anh ta có $a_{i} - i$ nữ.

Tương tự, bên phải anh ta có $n - (a_{i} - i)$ nữ.

Vậy nam tại $a_{i}$ được cho $(a_{i} - i) [n - (a_{i} - i)]$ kẹo.

Tương tự, nữ tại vị trí $b_{i}$ được cho $(b_{i} - i) [n - (b_{i} - i)]$ kẹo.

Như vậy tổng số kẹo được cho bằng

$S = i = 1 \sum n {(a_{i} - i) (n - (a_{i} - i)) + (b_{i} - i) (n - (b_{i} - i))} = i = 1 \sum n {n (a_{i} + b_{i}) - (a_{i}^{2} + b_{i}^{2}) - 2 ni - 2 i^{2} + 2 i (a_{i} + b_{i})}$

Chú ý là ${a_{1}, ..., a_{n}, b_{1}, ..., b_{n}} = {1, 2, ..., 2 n}$ nên ta có:

$i = 1 \sum n (a_{i}^{2} + b_{i}^{2}) = i = 1 \sum i^{2} 2 n = \frac{2 n ( 2 n + 1 ) ( 4 n + 1 )}{6}, i = 1 \sum n (a_{i} + b_{i}) = i = 1 \sum i 2 n = \frac{2 n ( 2 n + 1 )}{2}$

Ngoài ra

$i = 1 \sum i^{2} n = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}, i = 1 \sum i n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$

Thay vào biểu thức tính S, ta tìm được $S = i = 1 \sum n 2 i (a_{i} + b_{i}) - \frac{n ( 7 n ^{2} + 9 n + 2 )}{3}$

Từ đó, ta đưa bài toán ban đầu về việc chứng minh bất đẳng thức: $T = i = 1 \sum n i (a_{i} + b_{i}) \leq \frac{n ( n + 1 ) ( 8 n + 1 )}{6}$

Ta có

$a_{n} + b_{n} \leq 2 n + 2 n - 1 = 4 n - 1 a_{n} + b_{n} + a_{n - 1} + b_{n - 1} \leq 4 n - 1 + 4 n - 5 ......................................... a_{n} + b_{n} + a_{n - 1} + b_{n - 1} + ... + a_{1} + b_{1} \leq 4 n - 1 + 4 n - 5 + ... + 3$

Áp dụng công thức khai triển tổng Abel, ta có

$T = i = 1 \sum n i (a_{i} + b_{i}) = a_{n} + b_{n} + (a_{n} + b_{n} + a_{n - 1} + b_{n - 1}) + ... + (a_{n} + b_{n} + a_{n - 1} + b_{n - 1} + ... + a_{1} + b_{1}) \leq 4 n - 1 + (4 n - 1 + 4 n - 5) + ... + (4 n - 1 + 4 n - 5 + .. + 3) = i = 1 \sum n i (4 i - 1) = \frac{n ( n + 1 ) ( 8 n + 1 )}{6}$